求解微分方程的一些方法
當年已經學過了，可是忘光了。從知乎上找到了一個課程，可是和之前老師講的不一樣，在這裡說明一下。
求解微分方程，是解一個含有微分的方程。因為含有微分，它和一般的方程可不一樣，求解的結果裡會具有一個常數\(C\)。若想要去掉這個常數\(C\)，需要附加條件。這個附加條件表現為：
\[y'(x_1)=e_1,\\ y(x_2)=e_2 \]假若\(x_1=x_2\)，稱這個附加條件下的問題為初值問題。反之，則稱為條件值問題。一般遇見的都是初值問題。
在微分形式以及它的變種中，初值條件僅僅為:
\[y(x_0)=y_0 \]要解決初值問題，本質上不需要尋找額外的方法。只要完成了求解，再代入初值即可解決初值問題。當然，或許存在額外的解法
大抵來說，這個教程的內容是：將微分方程分為幾類，在這之後，每一類都有自己的獨特解法。
微分方程的分類與計算
- 標準形式
當然，這只是一個範例。如果標準形式也存在著解法，我們就沒有必要去討論不同形式下的解法了。
- 微分形式
同上標準形式，這只是一個範例。
- 可分離變數的形式
直接進行積分，即可求解。這是求解最簡單的一個形式。
\[\int M(x)dx+\int N(y)dy=\int 0=C \]當然，它存在著求解初值問題的額外方法：
- 齊次方程
假設一個齊次方程:
\[\frac{dy}{dx}=f(x,y) \]由於不是一個可分離變數的方程，顯然不能夠直接求解。
由於y是x的函式\((y=y(x))\)，顯然這個形式可以變化。比如，\(y=x\cdot y(x)\)，不過這樣會在符號的使用上引發問題，所以改寫為\(y=x\cdot v(x)\)。
為什麼要改寫？因為是齊次方程，\(f(tx,ty)=f(x,y)\)
最後會變化為可分離變數的形式。
- 恰當方程
首先，我們有著一個確認恰當方程的方法。如下:
\[\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}= \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} \]如果符合上式，那麼這就是一個恰當方程。
接下來，我們就可以根據下式確定\(F(x,y)\)
\[\begin{cases} \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=M(x,y)\\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=N(x,y) \end{cases} \]確定後，原式可以變化為:
\[dF(x)=0, \int dF(x)=\int 0=0, \therefore F(x)=C(C為任意常數) \]這樣就直接得到了對應的隱式解。從這個隱式解，或許可以得到顯式解。
額外的情況，即使原方程不是恰當方程，可以將其變化為恰當方程。具體方式為:
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \Rightarrow I(x,y)[M(x,y)dx+N(x,y)dy]=0 \]在一些情況下，我們可以通過一些固定的方式來尋找這個\(I(x,y)\)，如下:
假若有：
\[(\frac{\partial M}{dy}-\frac{\partial N}{dx})=N\cdot g(x) \quad or\quad M\cdot h(y)\\ \]那麼有：
\[I(x,y)=e^{\int g(x)dx \quad or \quad -\int h(y)dy} \]假若有：
\[\begin{cases} M(x,y)=yf(xy)\\ N(x,y)=xg(xy) \end{cases} \]那麼有：
\[I(x,y)=\frac{1}{xM-yN} \]- 線性方程
所有的線性方程，都可以變化為恰當方程，且為：
\[(\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}- \frac{\partial N(x,y)}{\partial x})= N \cdot g(x) \]- 伯努利方程
\(令z=y^{1-n}\),即可轉化為線性方程。