• 數學建模演算法補充
  • 常微分方程
    • 尤拉演算法
      • 定義
      • 公式推導
      • 演算法缺點

數學建模演算法補充

常微分方程

尤拉演算法

定義

定義：在數學和電腦科學中，尤拉方法，命名自它的發明者萊昂哈德·尤拉，是一種一階數值方法，用以對給定初值的常微分方程（即初值問題）求解。它是一種解決數值常微分方程的最基本的一類顯型方法（Explicit method）。

尤拉法是常微分方程的數值解法的一種，其基本思想是迭代。其中分為前進的EULER法、後退的EULER法、改進的EULER法。所謂迭代，就是逐次替代，最後求出所要求的解，並達到一定的精度。誤差可以很容易地計算出來。

非線性方程都是所謂“解不出來”的，即使是\(\frac{\mathrm{ d}y}{\mathrm{d}x}=y^2+x^2\)

公式推導

設微分方程為

• 差商近似導數

  若用向前差商\(\frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h}\)代替\(y'(x_n)\)帶入微分方程\(\frac{\mathrm{ d}y}{\mathrm{d}x}=f(x_n,y(x_n))\)中，可得

  \[\frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h} \approx f(x_n,y(x_n))\\ y(x_{n+1})=y(x_n)+hf(x_n,y(x_n)) \]

如果用\(y(x_n)\)的近似值\(y_n\)代入上式右端，所得結果作為\(y(x_{n+1})\)得近似值，記為\(y_{n+1}\)，則有

這樣，微分方程的近似解可以通過求解下述式子來獲得

演算法缺點

尤拉演算法簡單地取切線地端點作為起點來計算，當步數增多時，誤差會因積累而越來越大。因此，尤拉演算法一般不用於實際計算。