網路流24題(七)

七、試題庫問題

題目描述

問題描述：

假設一個試題庫中有 \(n\) 道試題。每道試題都標明瞭所屬類別。同一道題可能有多個類別屬性。現要從題庫中抽取 \(m\) 道題組成試卷。並要求試卷包含指定型別的試題。試設計一個滿足要求的組卷演算法。

程式設計任務：

對於給定的組卷要求，計算滿足要求的組卷方案。

輸入格式

第一行有兩個正整數 \(k\) 和 \(n\)。\(k\) 表示題庫中試題型別總數，\(n\) 表示題庫中試題總數。

第二行有 \(k\) 個正整數，第 i$$ 個正整數表示要選出的型別 \(i\) 的題數。這 \(k\) 個數相加就是要選出的總題數 \(m\)

接下來的 \(n\) 行給出了題庫中每個試題的型別資訊。每行的第一個正整數 \(p\) 表明該題可以屬於 \(p\) 類，接著的 \(p\) 個數是該題所屬的型別號。

輸出格式

輸出共 \(k\) 行，第 \(i\) 行輸出 i: 後接型別 \(i\) 的題號。
如果有多個滿足要求的方案，只要輸出一個方案。
如果問題無解，則輸出No Solution!。

題解

模型：

最大流，二分圖匹配

建圖與實現：

和二分圖匹配差不多，不一樣的僅僅只有右集合(\(k\)集合)，這個集合與匯點連線的時候邊的容量不再是1而是題目給出的常數。\(wa\)了一發是因為前向星為空的時候不會直接跳過，要特判一下。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll int

const ll N = 2050,M = 2e5+5,inf = 0x3f3f3f3f;
ll head[N],cnt = 1;
struct Edge{ll to,w,nxt;}edge[M];
void add(ll u,ll v,ll w){
    edge[++cnt].to = v;
    edge[cnt].w = w;
    edge[cnt].nxt = head[u];
    head[u] = cnt;
}
ll n,m = 0,k,s,t,lv[N],cur[N];
bool bfs(){
    memset(lv, -1, sizeof(lv));
    lv[s] = 0;
    memcpy(cur, head, sizeof(head));
    queue<int> q;q.push(s);
    while (!q.empty()){
        int p = q.front();q.pop();
        for (ll eg = head[p]; eg; eg = edge[eg].nxt){
            ll to = edge[eg].to, vol = edge[eg].w;
            if (vol > 0 && lv[to] == -1)lv[to] = lv[p] + 1, q.push(to);
        }
    }
    return lv[t] != -1;
}
ll dfs(ll p = s, ll flow = inf){
    if (p == t)return flow;
    ll rmn = flow;
    for (ll &eg = cur[p]; eg; eg = edge[eg].nxt){
        if (!rmn)break;
        ll to = edge[eg].to, vol = edge[eg].w;
        if (vol > 0 && lv[to] == lv[p] + 1){
            ll c = dfs(to, min(vol, rmn));
            rmn -= c;
            edge[eg].w -= c;
            edge[eg ^ 1].w += c;
        }
    }
    return flow - rmn;
}
ll dinic(){
    ll ans = 0;
    while(bfs()) ans += dfs();
    return ans;
}
ll num[N];
vector<ll> vec[N];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>k>>n;
    for(ll i = 1;i <= k;i++)cin>>num[i],m+=num[i];
    for(ll i = 1;i <= n;i++){
        ll p;cin>>p;
        while(p--){
            ll x;cin>>x;
            add(x,i+k,1);
            add(i+k,x,0);
        }
    }
    s = 0,t = n+k+1;
    for(ll i = 1;i <= k;i++){
        add(s,i,num[i]);
        add(i,s,0);
    }
    for(ll i = k+1;i <= k+n;i++){
        add(i,t,1);
        add(t,i,0);
    }
    ll flow = dinic();
    if(flow == m){
        for(ll i = 1;i <= k;i++){
            cout<<i<<": ";
            for(ll j = head[i];j;j = edge[j].nxt){
                if(edge[j].to == 0) continue;
                if(edge[j].w == 0)
                cout<<edge[j].to-k<<' ';
            }
            cout<<endl;
        }
    }else puts("No Solution!");
    return 0;
}