2. 程式人生 > 其它 >[提高組集訓2021] 古老的序列問題

[提高組集訓2021] 古老的序列問題

阿新 • • 發佈：2021-10-03

一、題目

有一個長度為 \(n\) 的整數序列 \(a\)，你需要回答 \(m\) 個詢問，每次給出 \(L,R\)，求下列式子的值：

\[\sum_{l=L}^R\sum_{r=l}^R(\max_{i=l}^r s_i)\cdot (\min_{i=l}^rs_i) \]

\(n,m\leq 10^5\)

二、解法

解法一

貓樹分治的進階版應用，我們把貓叔看作線段樹，每次把詢問在貓樹上面下放，下放的方式：如果正好覆蓋當前區間那麼留在這個節點上，回溯時算答案；如果不經過中點那麼直接下放；如果經過中點那麼統計左邊對右邊的貢獻。

主要問題是算左對右的貢獻，我們拿一個指標在左半部分從後往前移動，記錄到中點的最小值和最大值分別是 \(la,lb\)

，那麼在右半部分可以分出四個段，含義分別是：最值都在左邊取得、最大值在左邊取得、最小值在左邊取得、最值都在右邊取得。

不難發現可以用雙指標來找到這些段，然後對於右邊的每個點維護左邊的一個字尾對它的貢獻，在移動左邊指標的時候更新貢獻即可，四個段對應的係數不同（如果在右邊去最值那麼要用右邊的來乘，這個叫做係數），那麼我們用四個線段樹來維護係數即可，詢問的時候是一個區間查詢的過程。

那麼時間複雜度 \(O(n\log^2n)\)，要注意卡常啊

解法二

如果只有一次詢問怎麼辦？移動右端點維護每個左端點的答案，把右端點貢獻到詢問上去即可。

如果有多個詢問怎麼辦？移動右端點維護每個右端點對應每個左端點的答案，把歷史和貢獻到詢問上去即可。

那麼寫兩個單調棧\(+\)一個帶區間乘法支援區間歷史和查詢的線段樹即可，用矩陣乘法維護歷史和，時間複雜度 \(O(n\log n)\)

三、總結

貓樹進階應用，一言以蔽之：線段樹加 \(cdq\) 分治，注意利用過中點這個性質！

遇事不決，矩陣乘法，矩陣什麼都可以維護！

//cat-tree divide
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 100005;
const int N = 400005;
const int MOD = 1e9+7;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,s[M],z[M],a[M],b[M],ab[M],ans[M],f[N];
struct node
{
	int l,r,id;
	bool operator < (const node &b) const
	{
		return l>b.l;
	}
};vector<node> q[N];
struct seg
{
	int L,R,sum[N],sx[N],tag[N];
	int mul(int x,int y) {return 1ll*x*y%MOD;}
	void add(int i,int c)
	{
		sum[i]=(sum[i]+mul(sx[i],c))%MOD;
		tag[i]=(tag[i]+c)%MOD;
	}
	void build(int i,int l,int r,int *a)
	{
		if(i==1) L=l,R=r;
		sum[i]=tag[i]=0;
		if(l==r)
		{
			sx[i]=a[l];
			return ;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		build(i<<1,l,mid,a);
		build(i<<1|1,mid+1,r,a);
		sx[i]=(sx[i<<1]+sx[i<<1|1])%MOD;
	}
	void down(int i)
	{
		if(!tag[i]) return ;
		add(i<<1,tag[i]);
		add(i<<1|1,tag[i]);
		tag[i]=0; 
	}
	void ins(int i,int l,int r,int L,int R,int c)
	{
		if(L>r || l>R) return ;
		if(L<=l && r<=R)
		{
			add(i,c);
			return ;
		}
		int mid=(l+r)>>1;down(i);
		ins(i<<1,l,mid,L,R,c);
		ins(i<<1|1,mid+1,r,L,R,c);
		sum[i]=(sum[i<<1]+sum[i<<1|1])%MOD;
	}
	int ask(int i,int l,int r,int L,int R)
	{
		if(L>r || l>R) return 0;
		if(L<=l && r<=R) return sum[i];
		int mid=(l+r)>>1;down(i);
		return (ask(i<<1,l,mid,L,R)+
		ask(i<<1|1,mid+1,r,L,R))%MOD;
	}
	int Ask(int x) {return ask(1,L,R,L,x);}
}I,A,B,AB;
void add(int &x,int y) {x=(x+y)%MOD;}
void div(int i,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		f[i]=1ll*s[l]*s[l]%MOD;
		for(auto x:q[i])
			add(ans[x.id],f[i]);
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;a[mid]=MOD;b[mid]=0;
	vector<node> v;
	for(auto x:q[i])
		if(x.l<=mid && x.r>mid && !(x.l==l && x.r==r))
			v.push_back(x);
	sort(v.begin(),v.end());
	for(int i=mid+1;i<=r;i++)
	{
		z[i]=1;
		a[i]=min(a[i-1],s[i]);
		b[i]=max(b[i-1],s[i]);
		ab[i]=1ll*a[i]*b[i]%MOD;
	}
	I.build(1,mid+1,r,z);A.build(1,mid+1,r,a);
	B.build(1,mid+1,r,b);AB.build(1,mid+1,r,ab);
	int pa=mid,pb=mid,la=MOD,lb=0,t=mid+1;
	for(int i=mid,j=0;i>=l;i--)
	{
		la=min(la,s[i]);lb=max(lb,s[i]);
		for(;pa<r && a[pa+1]>la;pa++);
		for(;pb<r && b[pb+1]<lb;pb++);
		I.ins(1,t,r,t,min(pa,pb),1ll*la*lb%MOD);
		if(pa<pb) A.ins(1,t,r,pa+1,pb,lb);
		if(pb<pa) B.ins(1,t,r,pb+1,pa,la);
		AB.ins(1,t,r,max(pa,pb)+1,r,1);
		while(j<v.size() && v[j].l>=i)
		{
			node o=v[j];
			add(ans[o.id],(1ll*I.Ask(o.r)+A.Ask(o.r)
			+B.Ask(o.r)+AB.Ask(o.r))%MOD);
			j++;
		}
	}
	f[i]=(1ll*I.Ask(r)+A.Ask(r)+B.Ask(r)+AB.Ask(r))%MOD;
	for(auto x:q[i])
	{
		if(l==x.l && x.r==r) continue;
		if(x.r<=mid) q[i<<1].push_back(x);
		else if(x.l>mid) q[i<<1|1].push_back(x);
		else
		{
			node t1=x,t2=x;
			t1.r=mid;q[i<<1].push_back(t1);
			t2.l=mid+1;q[i<<1|1].push_back(t2);
		}
	}
	div(i<<1,l,mid);div(i<<1|1,mid+1,r);
	f[i]=(1ll*f[i]+f[i<<1]+f[i<<1|1])%MOD;
	for(auto x:q[i]) if(l==x.l && x.r==r)
		add(ans[x.id],f[i]);
}
void write(int x)
{
	if(x<=9)
	{
		putchar(x+'0');
		return ;
	}
	write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
signed main()
{
	freopen("sequence.in","r",stdin);
	freopen("sequence.out","w",stdout);
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		s[i]=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int l=read(),r=read();
		q[1].push_back(node{l,r,i});
	}
	div(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		write(ans[i]),puts("");
}

 
//segment tree maintaining matrix
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cassert>
using namespace std;
const int M = 100005;
const int MOD = 1e9+7;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,ans[M],a[M],sa[M],sb[M];
struct node{int x,y;};vector<node> g[M];
struct mat
{
	int a[2][2];
	mat() {memset(a,0,sizeof a);}
	void reset() {a[0][1]=a[1][0]=0;a[0][0]=a[1][1]=1;}
	mat operator * (const mat &b) const
	{
		mat r;
		for(int i=0;i<2;i++)
			for(int j=0;j<2;j++)
				for(int k=0;k<2;k++)
					r.a[i][k]=(r.a[i][k]+
					1ll*a[i][j]*b.a[j][k])%MOD;
		return r;
	}
}tr[4*M],tag[4*M],ZXY;
int qkpow(int a,int b)
{
	int r=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1) r=1ll*r*a%MOD;
		a=1ll*a*a%MOD;
		b>>=1;
	}
	return r;
}
mat con(int c)
{
	mat r;
	r.a[0][0]=c;r.a[1][1]=1;
	return r;
}
void build(int i,int l,int r)
{
	tag[i].reset();
	tr[i].a[0][0]=r-l+1;
	if(l==r) return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	build(i<<1,l,mid);
	build(i<<1|1,mid+1,r);
}
void down(int i)
{
	if(tag[i].a[0][0]==1 && tag[i].a[0][1]==0
	&& tag[i].a[1][0]==0 && tag[i].a[1][1]==1) return ;
	tr[i<<1]=tr[i<<1]*tag[i];
	tag[i<<1]=tag[i<<1]*tag[i];
	tr[i<<1|1]=tr[i<<1|1]*tag[i];
	tag[i<<1|1]=tag[i<<1|1]*tag[i];
	tag[i].reset();
}
void add(int i,int l,int r,int L,int R,mat c)
{
	if(L>r || l>R) return ;
	if(L<=l && r<=R)
	{
		tr[i]=tr[i]*c;
		tag[i]=tag[i]*c;
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;down(i);
	add(i<<1,l,mid,L,R,c);
	add(i<<1|1,mid+1,r,L,R,c);
	tr[i].a[0][0]=(tr[i<<1].a[0][0]
	+tr[i<<1|1].a[0][0])%MOD;
	tr[i].a[0][1]=(tr[i<<1].a[0][1]
	+tr[i<<1|1].a[0][1])%MOD;
}
int ask(int i,int l,int r,int L,int R)
{
	if(l>R || L>r) return 0;
	if(L<=l && r<=R) return tr[i].a[0][1];
	int mid=(l+r)>>1;down(i);
	return (ask(i<<1,l,mid,L,R)+
	ask(i<<1|1,mid+1,r,L,R))%MOD;
}
void write(int x)
{
	if(x<=9)
	{
		putchar(x+'0');
		return ;
	}
	write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
signed main()
{
	freopen("sequence.in","r",stdin);
	freopen("sequence.out","w",stdout);
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read();
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int l=read(),r=read();
		g[r].push_back(node{l,i});
	}
	int la=0,lb=0;mat I;
	I.reset();I.a[0][1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while(la && a[sa[la]]<a[i])
		{
			int c=qkpow(a[sa[la]],MOD-2);
			add(1,1,n,sa[la-1]+1,sa[la],con(c));
			la--;
		}
		while(lb && a[sb[lb]]>a[i])
		{
			int c=qkpow(a[sb[lb]],MOD-2);
			add(1,1,n,sb[lb-1]+1,sb[lb],con(c));
			lb--;
		}
		add(1,1,n,sa[la]+1,i,con(a[i]));
		add(1,1,n,sb[lb]+1,i,con(a[i]));
		sa[++la]=i;sb[++lb]=i;
		add(1,1,n,1,i,I);
		for(auto t:g[i])
			ans[t.y]=(ans[t.y]+ask(1,1,n,t.x,i))%MOD;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
		write(ans[i]),puts("");
}

相關推薦

[提高組集訓2021] 古老的序列問題

一、題目 有一個長度為 \\(n\\) 的整數序列 \\(a\\)，你需要回答 \\(m\\) 個詢問，每次給出 \\(L,R\\)，求下列式子的值：

[提高組集訓2021] 模擬賽1

B 題目描述 有一個與輾轉相除類似的函式 \\(R(a,b)\\)，定義如下： \\[R(a,b)=\\begin{cases}R(b,a)&a<b\\\\R(\\lfloor\\frac{a}{b}\\rfloor,b)&a\\geq b>1\\\\a&b=1\\end{cases}

[提高組集訓2021] 消失的運算子

一、題目 給定一個長度為 \\(n\\) 的表示式，表示式只出現括號、減號和數字 \\(1\\sim 9\\)，設一共有 \\(m\\) 個減號。

[提高組集訓2021] 妹妹卡組

一、題目 妹妹 \\(\\tt Oneindark\\) 給了你 \\(n\\) 個卡組，對於每個卡組有 \\(k_i\\) 個卡牌，其中第 \\(j\\) 個卡牌的大小是 \\(j\\)，價值是 \\(a_{i,j}\\)

[提高組集訓2021] 溫故而知新

一、題目 有 \\(n\\) 堆石子，第 \\(i\\) 堆石子有 \\(a_i\\) 個，當前取石子的人可以任取一堆還沒有取完的石子，從中取 \\([1,x]\\) 個。

[提高組集訓2021] 大套子

一、題目 校長有一個體積為 \\(x\\) 的大套子，現在有 \\(n\\) 條人類，如果套子的體積嚴格大於人類的體積 \\(y\\)，那麼校長就會把這個人類裝在套子裡，套子的體積就會增加 \\(y\\)

[提高組集訓2021] 一拳超人

一、題目 看到這個題目我想起了巨集帆機房牆上那個洞\\(...\\)（以後回去參觀那個著名景點）

[提高組集訓2021] 模擬賽4

A 題目描述 \\(n\\) 個數 \\(a_i\\) 分成 \\(k\\) 非空集合，若該集合有 \\(x\\) 個數能量和為 \\(y\\)，產生的代價是 \\(x\\times y\\)

[提高組集訓2021] 超級加倍

一、題目 我們認為 \\(x\\rightarrow y\\) 的簡單路徑是好的，當且僅當路徑上的點最小的是 \\(x\\)，最大的是 \\(y\\)

[提高組集訓2021] Round2

懶得說廢話了，我是傻逼。 C 題目描述 給定一棵 \\(n\\) 個點的樹，記 \\(L(u,v)\\) 為 \\((u,v)\\) 簡單路徑上的點數。對於路徑 \\((a,b),(c,d)\\) 點不交的四元組 \\((a,b,c,d)\\)，我們想知道 \\((L(a,b),L(c,d)

6854. 【2020.11.04提高組模擬】古老的序列問題

一個數列，若干次詢問，每次詢問\\([l,r]\\)區間中所有子區間的\\(max*min\\)的和。

[提高組集訓] 模擬賽6

風之軌跡「miracle」 題目描述 有 \\(n\\) 個點 \\(m\\) 條邊的有向無環圖，定義路徑長度為路徑上邊的數量。

紀中暑假集訓 2020.08.07【NOIP提高組】模擬 T1：【佛山市選2013】迴文子序列

【佛山市選2013】迴文子序列 Description 迴文序列是指左右對稱的序列。例如1 2 3 2 1是迴文序列，但是1 2 3 2 2就不是。我們會給定一個N×M的矩陣，你需要從這個矩陣中找出一個P×P的子矩陣，使得這個子矩陣的每一列

2021牛客OI賽前集訓營-提高組（第二場）

T1 串串串 題目描述 題面 你有兩個長度為 \\(n, m\\) 的 \\(01\\) 串 \\(S, T\\)。 有 \\(Q\\) 次詢問，每次詢問給出 \\(l_1, r_1, l_2, r_2\\)，其中 \\(r_1 - l_1 + 1 = r_2 - l_2 + 1\\) 令 \\(a = S[l_1 \\dots

2021牛客OI賽前集訓營-提高組（第一場）解題報告

前言 我只想說，我都氪金考試了，能不能不掉分。 每天一遍： YCC 是 SB。 還有，孫土蛋同學的程式碼是真的上頭。

2021牛客OI賽前集訓營-提高組(第五場)D-牛牛的border【SAM】

正題 題目連結:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/20110/D 題目大意 求一個長度為\\(n\\)的字串的所有子串的\\(border\\)長度和。

2021牛客OI賽前集訓營-提高組(第五場)C-第K排列【dp】

正題 題目連結:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/20110/C 題目大意 一個長度為\\(n\\)的字串\\(S\\)，\\(S\\)中存在一些\\(?\\)，有\\(N/O/I/P\\)四個字元作為字符集，每對相鄰的字元會產生不同的貢獻，現在要

2021牛客OI賽前集訓營-提高組（第六場）解題報告

比賽傳送 得分：\\(100 + 0 + 100 + 40 = 240pts\\) D 掛了 60 /ll 整套題比較屑。 A 觀察一下他給的條件。

洛谷P6185 [NOI Online #1 提高組]序列(二分圖+並查集+思維)

題目連結：https://www.luogu.com.cn/problem/P6185 為啥這題在洛谷難度標記只是個藍題，我覺得明明有紫題的水準了吧，但這個題很不錯，一開始的時候我沒想出來轉化成圖論模型來做，就覺得這是一個很高大上的難題。但

【佛山市選2013】JZOJ2020年8月7日提高組T1 迴文子序列

【佛山市選2013】JZOJ2020年8月7日提高組T1 迴文子序列 題目 描述 迴文序列是指左右對稱的序列。例如1 2 3 2 1是迴文序列，但是1 2 3 2 2就不是。我們會給定一個N×M的矩陣，你需要從這個矩陣中找出一個P×P的子矩陣