一、題目

我們認為 \(x\rightarrow y\) 的簡單路徑是好的，當且僅當路徑上的點最小的是 \(x\)，最大的是 \(y\)

給出一棵 \(n\) 個點的樹，求出好的簡單路徑條數。

\(n\leq 2\cdot 10^6\)

二、解法

很容易寫出暴力點分治，但是因為需要解決二維偏序問題所以是 \(O(n\log^2n)\) 的。

首先考慮樹是一條鏈的情況，發現可以二分求出 \(i\) 的範圍，然後在這個範圍中看有多少 \(j\) 即可。

那麼搬到樹上我們需要解決求出範圍這個問題，既然它又是路徑最值問題我們可以使用重構樹，我們從大到小加入節點，對於新加的節點 \(u\)，我們看所有邊 \((u,v)\)

那麼重構樹上兩個點的 \(\tt lca\) 就是它們真實路徑上的最小值，用類似的方法可以求出第二棵樹使得 \(\tt lca\) 就是它們真實路徑上的最大值。那麼條件轉化成第一棵樹上 \(x\) 是 \(y\) 的祖先，第二棵樹上 \(y\) 是 \(x\) 的祖先，我們可以求出第一棵樹上的 \(\tt dfn\) 序，在第二棵樹上 \(\tt dfs\)，用樹狀陣列來統計答案，時間複雜度 \(O(n\log n)\)

三、總結

對重構樹的理解不僅僅是最小生成樹上的邊重構，還可以是本題的點重構。總之就是解決一個範圍的問題，也就是滿足某一條件的點在樹上有特定的範圍（比如子樹）

//I just gonna burn the stars...
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 2000005;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,tot,t1,t2,rt[2],a[M],b[M],f[M],f1[M],f2[M];
int fa[M],vis[M],in[M],out[M];long long ans;
struct edge{int v,next;}e[M<<1],e1[M],e2[M];
int find(int x)
{
	if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);
	return fa[x];
}
void build(int F)
{
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,vis[i]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int u=a[i];vis[u]=1;
		for(int j=f[u];j;j=e[j].next)
		{
			int v=e[j].v;
			if(vis[v])
			{
				if(F==0) e1[++t1]=edge{find(v),f1[u]},f1[u]=t1;
				else e2[++t2]=edge{find(v),f2[u]},f2[u]=t2;
				fa[find(v)]=u;
			}
		}
	}
	rt[F]=find(1);
}
void dfs1(int u)
{
	in[u]=++m;
	for(int i=f1[u];i;i=e1[i].next) dfs1(e1[i].v);
	out[u]=m;
}
int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}
void add(int x,int c)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		b[i]+=c;
}
int ask(int x)
{
	int r=0;
	for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
		r+=b[i];
	return r;
}
void dfs2(int u)
{
	add(in[u],1);
	ans+=ask(out[u])-ask(in[u]);
	for(int i=f2[u];i;i=e2[i].next) dfs2(e2[i].v);
	add(in[u],-1);
}
signed main()
{
	freopen("charity.in","r",stdin);
	freopen("charity.out","w",stdout);
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=i;
		int j=read();if(!j) continue;
		e[++tot]=edge{i,f[j]},f[j]=tot;
		e[++tot]=edge{j,f[i]},f[i]=tot;
	}
	build(0);reverse(a+1,a+1+n);
	build(1);dfs1(rt[0]);dfs2(rt[1]);
	printf("%lld\n",ans);
}