引言

資訊學競賽中有個很經典的問題——偏序問題。

可能很多人並沒有聽說過什麼是偏序問題，但大多應該都聽說過逆序對和最長上升子序列問題。這兩個問題都是偏序問題的一種。

先來理解下偏序關係的定義。

定義

偏序關係

設R是集合A上的一個二元關係，若R滿足：

1. 自反性：對任意x∈A，有xRx；
2. 反對稱性（即反對稱關係）：對任意x,y∈A，若xRy，且yRx，則x=y；
3. 傳遞性：對任意x,y,z∈A，若xRy，且yRz，則xRz。

則稱R為A上的偏序關係，通常記作≼。

給定集合S，“<”是S上的

二元關係，若“<”滿足：

1. 反自反性：∀a∈S，有a≮a；

2. 非對稱性：∀a，b∈S，a<b ⇒ b≮a；

3. 傳遞性：∀a，b，c∈S，a<b且b<c，則a<c；

則稱“<”是S上的嚴格偏序或反自反偏序。

與非嚴格的偏序關係不同的地方就是沒有反對稱性，取而代之的是非對稱性。上面寫的包含關係是一種偏序關係，更準確的說，包含關係是非嚴格的偏序關係，而真包含是嚴格的偏序關係。

全序關係

偏序和全序是公里集合論中的概念，全序關係是偏序關係的一個子集，如果是全序關係那必然是偏序關係，全序關係在全序關係上增加了一個完全性。

1. R是集合A上的一個偏序關係。
2. 完全性：對任意x∈A，y∈A,存在 (x,y)∈R或(y,x)∈R

在實數集上的大於小於號等大小關係，更準確的說應該屬於一種全序關係，因為實數集上所有的數都能比較。但如果將數域擴充套件到複數域，複數域中的部分數是不能比較的，所以複數域中的大於小於號等大小關係是偏序關係而不是全序關係。同樣的，集合之間的包含關係也不是全序關係，因為兩集合可以處於不包含也不被包含的互相獨立的狀態。

正文

偏序問題

給定序列A，其中有序對(A_i,A_j)，滿足 i<j 且A_i<A_j這樣的有序對我們稱之為逆序對，

資訊學競賽中的逆序對問題，一般是要我們計數給出序列的逆序對個數的總和。

其實可以把它看成一個特殊的二維偏序問題，或者說是離散化x座標的二維偏序問題。

我們把給定的序列A，加上一個編號，變成一個二元組，即A₁-->(A₁,1),A₂-->(A₂,1)A_i-->(A_i,i)。存在兩個二元組（a，b），（c，d），滿足 a > c 且 b < d 的個數。我們將二元組放在一個二維空間中，二元組（x，y）表示座標為（x，y）的點，此時我們就會發現實際上逆序對問題，就是一種二維偏序問題。

何為二維偏序問題？ 在二元組中定義一種偏序關係R，統計R集合中元素的個數。

比如逆序對問題，定義的關係就是：兩個二元組（a，b），（c，d），滿足 a > c 且 b < d 。易知它滿足偏序關係的3個定義，並且任意的兩個二元組也不都有關係,所以就不是全序，當然由於逆序對問題一般不會出現重複的數字，所以前兩個定義需要特別判斷，但它可以滿足最後的也是最重要的一條性質——傳遞性。也正是因為傳遞性我們才能使用各種演算法來解決它們。

在資訊學競賽中我們解決逆序對使用的是，線段樹或歸併排序，實際上這裡的歸併排序就是cdq分治，實際上都是使用的分治法。

這兩種方法本質上相同，都是通過排序解決一個維度的問題，然後再使用分治快速處理另外一個維度的問題。