神題

對於\(100\)%的資料，滿足\(1 \leq k\leq m\leq n\), \(\ m\leq4\),\(\ n\leq 10^{12}\)

sol

首先是題意翻譯：
給定一個區間\([1,n]\),給定子集大小\(m\)，求對於所有的子集，其中有多少大小為\(k\)的子集（即子集的子集）滿足其內元素和是該子集元素和的約數。

大型找規律現場。

1.m=1,k=1.

答案顯然為從\(n\)個數中任取一個，則答案為\(n\)

2.m=2,k=1.

對於所有的\(a_1<a_2\)，當且僅當\(a_2 \mid a_1\)，\(a_2 \mid (a_1+a_2)\),則答案為\(\sum_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}-1 \rfloor\)

3.m=2,k=2.

答案為從\(n\)個數中選兩個數，即為\((^n_2)\)

4.m=3,k=1.

解不定方程\(xa_1=(a_1+a_2+a_3)\),\(ya_2=(a_1+a_2+a_3)\),\(za_3=(a_1+a_2+a_3)\)得到唯一解\(x=2,y=3,z=6\)
則\(a_1=2k,a_2=3k,a_3=6k\)，答案為\(\lfloor \frac{n}{3} \rfloor\)

5.m=3,k=2

類似的，列出方程

\((a_1+a_2)\mid(a_1+a_2+a_3)\)

\((a_2+a_3)\mid(a_1+a_2+a_3)\)

反證一波，發現當且僅當\((a_1+a_2)\mid a_3\)

最終方程為\(\sum_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \times \frac{i-1-[i|2]}{2}\)

6.m=3,k=3

類似的，\(n\)個之中選三個，為\((^n_3)\)

7.m=4,k=1

一個更復雜的不定方程（話說真就不定方程唄）。
具體解法見題解（）.
最終解得\(x,y,z,w\)

由於必須存在\(n\)使得存在\(a_1<a_2<a_3<a_4\),觀察到當\(n \geq6\)時存在第一組合法的解\((1,2,3,6)\)，所以我們對於\(n=4,n=5\)的情況特判一波，對於\(n\geq6\)的情況按整除處理即可。

方程為

當\(n=4,5\)時，\(ans=1\)

\(else\),\(ans=\lfloor \frac{n}{6} \rfloor+\lfloor \frac{n}{9} \rfloor+\lfloor \frac{n}{10} \rfloor+\lfloor \frac{n}{12} \rfloor+\lfloor \frac{n}{15} \rfloor+\lfloor \frac{n}{21} \rfloor\)

8.m=4,k=2

因為命題\((a_2+a_4)\nmid(a_1+a_3)->(a_2+a_4)\nmid(a_1+a_2+a_3+a_4)\)顯然成立，其逆否命題\((a_2+a_4)\mid(a_1+a_2+a_3+a_4)->(a_2+a_4)\mid(a_1+a_3)\)也顯然成立。

同理，命題\((a_1+a_3)\mid(a_1+a_2+a_3+a_4)->(a_1+a_3)\mid(a_2+a_4)\)也應當成立。

我們取四個條件

\(a_1+a_2\mid a_3+a_4\)

$ a_1+a_3 \mid a_2+a_4$

\(a_2+a_3\mid a_1+a_4\)

\(a_1+a_4 \mid a_2+a_3\).
顯然由條件三，四可以得到\(a_1+a_4=a_2+a_3\),令\(k_1(a_1+a_3)=a_2+a_4\),\(k_2(a_1+a_2)=a_3+a_4\)，經過一系列不等變換，可得{a1, a2, a3, a4}= {k, 5k, 7k, 11k}或 {k, 11k, 19k, 29k}。
同理，該種情況只當\(n\geq 11\)時才有解，所以對於\(n\leq 11\)，需要特判。

總方程為
\(ans=1,n=4.5.6\)

\(ans=3,n=7\)

\(ans=6,n=8\)

\(ans=9,n=9\)

\(ans=10,n=10\)

\(ans=\lfloor \frac{n}{11}\rfloor+\lfloor \frac{n}{29} \rfloor\)

9.m=4,k=3

與\(m=3\)的推法類似，易得其充要條件為\((a_1+a_2+a_3)\mid a_4\),考慮給\(a_1,a_2,a_3\)定序，具體過程略.

方程為

\(ans=1,n=4\)

\(ans=4,n=5\)

\(ans=\sum_{i=1}^n \times\frac{i^2-6i+5+3[2\mid i]+4[3\mid i]}{12}\)

10.m=4,k=4

等價於\(n\)個裡面選\(4\)個。