abstract

證明了影象重建能用神經網路表示，具體地說，filtered back-projection（就是CT那個）能夠被對映到深度神經網路結構。迭代重建直接用矩陣相乘效果不好，把back-projection層當作fixed function並把梯度當作投影操作更有效。這樣就可以找到一個數據驅動的方式在投影域和影象域做joint optimization of correction steps。證明了能夠學習weightings和additional filter layers來不斷減少重建誤差（在一個有限的重建角度by a factor of two【自由度2？】），此時計算複雜度和filtered back projection是相同的。

introduction

提出back-projection layer for parallel-beam and fan-beam projection as well as a weighting layer（然後就能端到端訓練）能夠學習back projection之前的project domain的heuristic。因此可以把啟發式的修正方法替換為學習得到的優化策略，還能同時用其他的修正策略。

methodology

離散FBP：

\[f(u, v) \approx \frac{\pi}{N} \sum_{n=1}^{N} q\left(u \cos \left(\theta_{n}\right)+v \sin \left(\theta_{n}\right), \theta_{n}\right) \]

1D插值：

\[f(u, v) \approx \frac{\pi}{N} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} w_{m}\left(u, v, \theta_{n}\right) \cdot q_{\left\lceil u \cos \left(\theta_{n}\right)+v \sin \left(\theta_{n}\right)-\frac{M+2}{2}+m\right\rceil, n} \]

設定bias=0且啟用函式是$ f(x)=x\(時，常見的神經元是\)f\left(y_{i}\right)=\sum_{j=1}^{N} w_{i j} x_{j}$，改一下未知數的含義，把f(y)變成f(x,y)代表pixel(x,y)，得到：

\[f\left(x_{i}, y_{j}\right)=\sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} w_{i+(j-1) \cdot I, m+(n-1) \cdot M} \cdot q_{m, n} \]

同樣做插值（the interpolation size big enough to cover the length of the detector by zero-padding the signal as needed）：

\[f\left(u_{i}, v_{j}\right) \approx \frac{\pi}{N} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} w_{m}\left(u_{i}, v_{j}, \theta_{n}\right) \cdot q_{m, n} \]

線性插值->will yield only up to two non-zero coefficients for every M interpolation coefficients resulting in an extremely sparse matrix.

最終得到的是：

\[f\left(x_{i}, y_{j}\right)=\max \left[0, \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} \frac{\pi}{N} w_{m}\left(u_{i}, v_{j}, \theta_{n}\right) \cdot\left(\sum_{k=-M / 2}^{M / 2} w_{k} \cdot p_{m-k, n}\right)\right] \]

把FBP的每一步都對應到網路中的一層：

Parallel-Beam Back-Projection Layer（平行光束）

全連線層：This layer has no adjustable parameters.在forward pass中係數被計算出來，\(\mathbf{y}_{l}=\mathbf{W}_{l} \mathbf{y}_{l-1}\)，反向傳播時\(\mathbf{E}_{l-1}=\mathbf{W}_{l}^{T} \mathbf{E}_{l}\)。【那麼，訓練的物件其實是“filtered”的部分嗎】

the back-projection operator is the transpose（轉置） of the projection operator.【從公式也許可以看出】

Extension to Fan-Beam Reconstruction（扇形波束）

Weighting Layer 非常稀疏【對角陣？】

Fan-Beam Back-Projection Layer 【一小段話，但是沒看懂】

Convergence and Overfitting

the convolutional layer uses the ramp filter, and the weighting layer accounts for cosine-weighting or redundancy weighting.
These initializations can be used for a very effective pre-training.

experiment & conclusion

沒什麼有意思的。

個人理解：其實是在train濾波的kernel，其他部分基本上都是fixed。不一定對。關於CT的基礎知識可以看上一篇隨筆。對於第二個扇形光束的情況，其實對應weighting layer對應的就是從扇形->平行的過程，convolution layer對應的filter，然後FCL對應backprojection。最後那個線性整形沒理解，是為了去除小於0的值嗎？