遞迴過程以及遞迴master公式

遞迴過程

1. 舉個栗子

使用遞迴方式找到陣列中最大的元素，程式碼如下：

public class Recursion {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[]{1, 3, 2, 5, 3, 1, 5, 6};
        System.out.println(process(arr, 0, arr.length - 1));
    }

    public static int process(int[] arr, int L, int R) {
        if (L == R) {
            return arr[L];
        }
        int mid = L + ((R - L) >> 1);	// 中點
        int leftMax = process(arr, L, mid);	//	找到左邊部分最大值
        int rightMax = process(arr, mid + 1, R); //	找到右邊部分最大值
        return Math.max(leftMax, rightMax);	//	返回兩者中更大的那一個
    }
}

 

2. 解釋說明

以 arr = new int[]{1, 3, 7, 5, 6, 2} 來說明（配合下圖一起食用，效果更佳）：

最開始呼叫方法為 p ( arr, 0, 5)，（因為引數 arr 始終沒有發生改變，之後方法簡寫一下，省略其中的 arr）

然後 p (0, 5) 會先呼叫 p (0, 2) 去找左邊部分最大值 , p (0, 2) 會呼叫 p (0, 1) 去找左邊部分最大值

p (0, 1) 會繼續呼叫 p (0, 0)，p(0, 0) 返回值 arr[0] , p(0, 1) 就可以進入到右邊部分找最大值，即呼叫 p (1, 1) ，p (1, 1) 返回 arr[1] 後，p(0, 1) 就可以返回 arr[0] 和 arr[1] 中的最大值

p (0, 1) 返回後，p(0, 2) 就會呼叫 p(2, 2) 去找右邊部分的最大值...

依次類推，直到得到 p(0, 5) 的返回值

題外話：有經驗的小夥伴可以看出來，這實際就是一個二叉樹的後序遍歷; 每次把方法壓入棧，等到方法執行結束後就出棧, 棧空間大小為樹的高度

master 公式

1. 公式說明

用於估計一系列特殊行為的遞迴時間複雜度，為什麼說特殊呢？因為它的使用前提是“分解出的子問題的規模要一樣”，我們先來看一下公式

T(N) = a * T (N/b) + O(N^d)

其中 a 表示的是子規模的次數， 像上面那個例子中 a = 2

b 表示的是子問題的規模， 上面例子中 b = 2, 將問題分為了左邊最大和右邊最大兩個子問題

式子最後的 O( ) 表示的是除去呼叫子過程的其他時間複雜度， 上面例子中為O(1), 因為除去呼叫子過程，剩下的步驟就是判斷相等和取出兩者之中的最大值，時間複雜度為常數階，因此 d = 0

2. 公式求解

那得到 a, b, d 的值有什麼用呢？我們可以通過這三個值快速得到遞迴演算法的時間複雜度

那通過上述例子的 a = 2, b = 2, d = 0, 可得 logb a = 1 > 0, 為情況 2，時間複雜度為 O(N)

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