前言

當我們藉助導數工具研究函式的單調性、極值、最值時，難在解導函式不等式，此時如果能靈活而恰當的使用函式的影象時，就可以輕鬆的判斷導函式的正負了。

使用步驟

• 當題目給定函式[數字係數，不含有引數]後，用導數法求數字係數的函式極值的步驟：

①確定函式的定義域；

②求導數\(f'(x)\)；

③解方程\(f'(x)＝0\)，求出在函式定義域內的所有根；

④列表檢驗\(f'(x)\)在\(f'(x)＝0\)的根\(x_0\)左右兩側值的符號．

⑤由表格得到極值和極值點；

補充：當函式中含有引數時，用導數法求字母系數的函式極值的步驟：

需要分類討論；每一種情形都對應上述的求解步驟；

案例解析

設函式 \(f(x)=\cfrac{ax^{2}+(4a-2)x+4a-6}{e^{x}}\)

(1)若曲線 \(y=f(x)\) 在點 \((1, f(1))\) 處的切線與直線 \(y=1\) 平行， 求 \(a\) 的值；

解：因為\(f(x)=\cfrac{ax^{2}+(4a-2)x+4a-6}{{e}^{x}}\)，

所以 \(f'(x)=\cfrac{(2ax+4a-2){e}^{x}-\left[ax^{2}+(4a-2)x+4a-6\right]{e}^{x}}{{e}^{2x}}\)

\(=\cfrac{-ax^2-(2a-2)x+4}{e^x}=-\cfrac{ax^2+(2a-2)x-4}{e^x}\)

\(=-\cfrac{(ax-2)(x+2)}{{e}^{x}}\)

由題設知 \(f'(1)=\cfrac{-3(a-2)}{e}=0\)， 解得 \(a=2\) .

又由於此時 \(f(1)=\cfrac{10}{e}\neq 1\)題目告訴函式在點 \((1,f(1))\) 處的切線與直線 \(y=1\) 平行，故需要驗證，以保證不能重合；， 所以 \(a\) 的值為 \(2\)

(2)若 \(f(x)\) 在 \(x=-2\) 處取得極大值， 求 \(a\) 的取值範圍. [重難點]

解：由上可知，\(f'(x)=-\cfrac{(ax-2)(x+2)}{{e}^{x}}\)到此，我們該如何思考呢，當將著眼點只關注\(y\)\(=\)\(-\)\((ax-2)\)\(\cdot\)\((x+2)\)時，發現其為仿二次函式，故需要針對二次項係數分類討論，因為只有分類討論才能說清楚導函式的正負；如何分類呢？先分類為\(a=0\)[一次函式]，再分類為\(a>0\)和\(a<0\)[二次函式]，定義域為\(R\)，

① 當\(a=0\)時，分子函式簡化為\(y=2(x+2)\)，

故當\(x\in (-\infty,-2)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減甚至可以藉助更簡化的函式\(y=x+2\)的影象來判斷導函式的正負，其中\(x\)軸上方的函式值為正，下方為負；，

\(x\in (-2，+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，

故函式在\(x=-2\)處取到極小值，不符合題意，捨去.

② 當\(a>0\)時，分子函式化簡為\(y=-a(x-\cfrac{2}{a})(x+2)\)此時函式為二次函式，影象為開口向下的拋物線，，且\(\cfrac{2}{a}>-2\)，

當\(x\in (-\infty，-2)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減，

\(x\in (-2，\cfrac{2}{a})\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，

\(x\in (\cfrac{2}{a}，+\infty)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減，

故函式在\(x=-2\)處取到極小值，不符合題意，捨去.

③當\(-1<a<0\)時這個分類標準是如何來的？當\(a<0\)時，二次函式的兩個零點就有了相等的可能，讓兩個零點\(\cfrac{2}{a}\)\(=\)\(-2\)，解得分界點為\(a\)\(=\)\(-1\)，然後通過解\(\cfrac{2}{a}\)\(<\)\(-2\)得到\(-1\)\(<\)\(a\)\(<0\)，解\(\cfrac{2}{a}\)\(>\)\(-2\)得到\(a\)\(<\)\(-1\)，故接下來應該分類討論以下三種情形：\(-1\)\(<\)\(a\)\(<\)\(0\)，\(a\)\(=\)\(-1\)，\(a\)\(<\)\(-1\)，分子函式化簡為\(y=-a(x-\cfrac{2}{a})(x+2)\)此時函式為二次函式，影象為開口向上的拋物線，，且\(\cfrac{2}{a}<-2\)，

當\(x\in (-\infty，\cfrac{2}{a})\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，

\(x\in (\cfrac{2}{a}，-2)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減，

\(x\in (2，+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，

故函式在\(x=-2\)處取到極小值，不符合題意，捨去.

④當\(a=-1\)時，分子函式化簡為\(y=(x+2)^2\)此時函式為二次函式，影象為開口向上的拋物線，影象和\(x\)軸相切，，且\(\cfrac{2}{a}=-2\)，

當\(x\in (-\infty，+\infty)\)時，\(f'(x)\geqslant0\)，\(f(x)\)單調遞增，

此時函式沒有極值，不符合題意，捨去.

⑤當\(a<-1\)時，分子函式化簡為\(y=-a(x-\cfrac{2}{a})(x+2)\)此時更簡單的函式模型\(y=(x-\cfrac{2}{a})(x+2)\)為二次函式，影象為開口向上的拋物線，，且\(\cfrac{2}{a}>-2\)，

當\(x\in (-\infty，-2)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞增，

\(x\in (-2，\cfrac{2}{a})\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞減，

\(x\in (\cfrac{2}{a}，+\infty)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞增，

故函式在\(x=-2\)處取到極大值，符合題意，

綜上所述，\(a\)的取值範圍為\((-\infty,-1)\) .

〔解後反思〕：①本題目的難點之一，就是分類討論的原因和分類討論的標準的確定；②我們能體會到，當恰當使用了影象後，導函式的正負判斷就變得非常容易，學生也可以自己輕鬆的寫出來。

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