再次梳理導數章節的思路；

思維導圖

• 利用 mermaid 製作的思維導圖，格式很難掌握；

graph LR A[(導數及
其應用)] --> B[導數概念和運算]; B--> B1[導數的概念]; B1--> B6[平均變化率/類比平均速度]; B1--> B7{{瞬時變化率
也叫導數
類比瞬時速度}}; B--> B2[公式法求導數]; B--> B3[導數的運演算法則]; B--> B4[複合函式的求導]; A --> C[導數幾何意義及應用]; C--> C1[求切線方程]; C1--求導得斜率
點斜式寫切線方程--> C4{{求在點處的切線}}; C1--設切點求切點
注意高次方程的求解--> C5{{求過點處的切線}}; C--> C2[求切點座標/斜率等]; C--> C3[求引數值或取值範圍]; C3--轉化為二次函
數有兩個實根--> C6[過某點有兩條切線求引數]; C3--利用三個斜率
相等建立方程--> C7[已知公切線求引數]; A --> D[(用導數工
具研究函
數性質)]; D --> D1[相關知識儲備] D1 --> E1>函式的單調性與導函式的關係] D1 --> E2[利用導數判斷函式單調性的一般步驟] D1 --> E3>利用導數研究函式極值的步驟] D1 --> E4[利用導數研究函式最值的步驟]

典例剖析

【2020-江西五校聯考】 已知曲線 \(C: y=x \mathrm{e}^{x}\) 過點 \(A(a, 0)\) 的切線有且僅有兩條，則實數\(a\)

的取值範圍是【\(\qquad\)】

$A.(-\infty,-4)\cup(0,+\infty)$ $B.(0,+\infty)$ $C.(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ $D.(-\infty,-1)$

解：對函式 \(y=xe^{x}\) 求導得， \(y'=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}=(1+x)e^{x}\)，

設切點座標為 \(P\left(x_{0}, x_{0}{e}^{x}\right)\),

則曲線 \(y=xe^{x}\) 過點 \(A(a, 0)\) 的切線的斜率 \(k=\left(1+x_{0}\right)e^{x}_{0}\)

又經過點\(A(a,0)\)和切點\(P\)的直線的斜率為\(k=\cfrac{x_{0}e^{x_{0}}}{x_{0}-a}\)，

由於是同一條直線，故\(k=\left(1+x_{0}\right)e^{x}_{0}=\cfrac{x_{0}e^{x_{0}}}{x_{0}-a}\)，

上述方程的兩邊同時約去\(e^{x_0}\)，化簡得到 \(x_{0}^{2}-a x_{0}-a=0\)，依題意知，

上述關於\(x_{0}\)的二次方程有兩個不相等的實數根由於此方程有兩個不相等的實根，故由\(k=\left(1+x_{0}\right)e^{x}_{0}\)就能得到兩個不同的斜率，結合點\(A(a,0)\)，則能得到兩條不同的切線，從而滿足過點\(A(a,0)\)的切線有且僅有兩條；，

所以\(\Delta =(-a)^{2}-4\times1\times(-a)>0\)， 解得 \(a<-4\) 或 \(a>0\)， 故選 \(A\) .

本文來自部落格園，作者：靜雅齋數學，轉載請註明原文連結：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/15366131.html