1 題目分析

1.1 問題描述

7-4 編輯距離問題 (25 分)

設A和B是2個字串。要用最少的字元操作將字串A轉換為字串B。這裡所說的字元操作包括 (1)刪除一個字元； (2)插入一個字元； (3)將一個字元改為另一個字元。 將字串A變換為字串B所用的最少字元運算元稱為字串A到 B的編輯距離，記為d(A,B)。 對於給定的字串A和字串B，計算其編輯距離 d(A,B)。

輸入格式:
第一行是字串A，檔案的第二行是字串B。

提示：字串長度不超過2000個字元。

輸出格式:
輸出編輯距離d(A,B)

輸入樣例:
在這裡給出一組輸入。例如：
fxpimu xwrs
結尾無空行

輸出樣例:
在這裡給出相應的輸出。例如：
5

1.2 演算法描述

首先的想法是，從兩個字串的首位置開始比較。
（1）如果兩個字串的首位置字母相同，那麼遞迴比較剩下的字串
（2）如果兩個字串的首位置字母不相同，那麼對首字母進行刪除、插入、或者替換操作，再遞迴處理後面的部分。
這樣的話會有大量重複計算，不如直接用動態規劃，開一個新的陣列記錄子問題的最優解，一步步找到答案。

用op[2010][2010]來儲存結果，op[i][j]表示a的子串(下標從0到i）轉化為b的子串（下標從0到j）需要的操作次數，最後輸出的答案就是op[lena][lenb]。

1.3 問題求解：

1.1.1 根據最優子結構性質，列出遞迴方程式

op[i][0]（i從0到lena）初始化為i，op[0][j]（j從0到lenb）初始化為j。（因為當i或j行為0時，要想將a子串轉化為b子串，只能全部增加或者全部刪除）

初始化完畢之後：
（1）如果兩個字串的首位置字母相同，op[i][j]=op[i-1][j-1]（不用進行額外操作，操作次數就是上一個子串的操作次數）
（2）如果兩個字串的首位置字母不相同：
刪除：刪除a子串的末尾，意味著op[i][j]=1+op[i-1][j]
插入：在a子串的末尾插入，意味著op[i][j]=1+op[i][j-1]
將一個字元改為另一個字元：意味著op[i][j]=1+op[i-1][j-1]
然後要找出這三種方案中的最小值，所以遞迴式如下：

1.1.2 給出填表法中表的維度、填表範圍和填表順序

標的維度：二維
填表範圍：i從1到 lena（a字串的長度），j從1到 lenb（b字串的長度）
填表順序：從左到右，從上到下填表。（因為填一個格子的時候要保證他的上面，左邊，對角線的都填了）

1.1.3 分析該演算法的時間和空間複雜度

時間複雜度：O（mn）（雙重迴圈）
空間複雜度：O（mn）（額外開了個二維陣列）

1.3 心得體會（對本次實踐收穫及疑惑進行總結）

這道題一開始是不會的，想了很久都沒想出來，後面上網看了別人解析。
我自己沒想到的部分就是，當兩個字母不等的時候，進行了三個操作之後可以先刪除再+1，就是分為三種情況遞迴，然後選擇運算元最小的那個。

2.你對動態規劃演算法的理解和體會

首先，動態規劃應該依賴於兩個最重要的性質：最優子結構和重疊子問題。

判斷一道題是否能用動態規劃，首先判斷它是否有最優子結構，就是說，他最終的問題的答案，是不是由一個個小問題的最優解逐步構造出的。然後要看是不是由重疊的子問題，這時候就需要用到一個備忘錄記錄之前已經計算過的資料，避免重複計算，保證了每個子問題只解一次。

其次，通過這段時間對動態規劃的學習，我明白了動態規劃演算法最重要的就是填表和寫遞迴式。要明確填表用何種方式填，填這個空的時候我需要旁邊哪幾個空的答案。遞迴式則需要我們根據題目建立遞迴關係，有了遞迴關係就可以愉快地寫程式碼了！