數電基礎(三)---邏輯代數
介紹邏輯代數中基本的邏輯運算，基本公式，常用公式和基本定理。
邏輯閘
簡單的邏輯閘
邏輯代數的基本運算有與(AND)，或(OR)，非(NOT)三種。
“與”門
只有決定事物結果的全部條件同時具備時，結果才發生，這種因果關係稱為邏輯與，或者稱邏輯相乘。
邏輯真值表為
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
其中\(A\),\(B\)為輸入，\(Y\)為輸出。
在邏輯代數中，以“\(\cdot\)”表示與運算。
\(A\)與\(B\)進行與邏輯運算時可以寫成
表示符號為
為了簡化書寫，允許將\(A\cdot B\)簡寫成\(AB\)
"或"門
在決定事物結果的諸條件中只要有任何一個滿足，結果就會發生，這種因果關係稱為邏輯或，或者稱邏輯相加。
邏輯真值表為
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
其中\(A\),\(B\)為輸入，\(Y\)為輸出。
在邏輯代數中，以“\(+\)”表示或運算。
\(A\)與\(B\)進行或邏輯運算時可以寫成
表示符號為
"非"門
只要條件具備了，結果就不會發生，而條件不具備時，結果就一定發生，這種因果關係稱為邏輯非，或者稱邏輯相反。
邏輯真值表為
| A | Y |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
其中\(A\)為輸入，\(Y\)為輸出。
在邏輯代數中，以“\(\prime\)”表示非運算。
\(A\)進行非邏輯運算時可以寫成
表示符號為
複合邏輯閘
最常見的複合邏輯運算有與非(NAND)，或非(NOR)，與或非(AND-NOR)，異或(EXCLUSIVE OR)，同或(EXCLUSIVE NOR)等。
“與非”門
與非操作，將\(A\),\(B\)先進行與運算，然後將結果求反，最後得到的即為\(A\),\(B\)的與非運算結果。（先與後非）
邏輯真值表
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
其中\(A\),\(B\)為輸入，\(Y\)為輸出。
\(A\)與\(B\)進行與非邏輯運算時可以寫成
表示符號為
實際上可以把與非運算看作是與運算和非運算的組合，圖形符號上的小圓圈表示非運算。(後面會提到，可以將影象上的小圓圈看成一個非門)
"或非"門
或非操作，將\(A\),\(B\)先進行或運算，然後將結果求反，最後得到的即為\(A\),\(B\)的或非運算結果。（先或後非）
邏輯真值表
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
其中\(A\),\(B\)為輸入，\(Y\)為輸出。
\(A\)與\(B\)進行或非邏輯運算時可以寫成
表示符號為
實際上可以把或非運算看作是或運算和非運算的組合，圖形符號上的小圓圈表示非運算。
"異或"門
異或是這樣一種邏輯關係，當A，B不同時，輸出Y為1，當A，B相同時，輸出Y為0。
邏輯真值表
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
其中\(A\),\(B\)為輸入，\(Y\)為輸出。
在邏輯代數中，以“ \(\oplus\)”表示異或運算。
\(A\)與\(B\)進行異或邏輯運算時可以寫成
\[Y =A \oplus B= A \cdot B^{\prime} + A ^{\prime} \cdot B \]表示符號為
"同或"門
同或的邏輯關係，當A，B相同時，輸出Y為1，當A，B不同時，輸出Y為0。
邏輯真值表
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
其中\(A\),\(B\)為輸入，\(Y\)為輸出。
在邏輯代數中，以“\(\odot\)”表示與運算。
\(A\)與\(B\)進行同或邏輯運算時可以寫成
\[Y = A \odot B=A \cdot B + A^{\prime} \cdot B^{\prime} \]表示符號為
從上面我們可以看出異或和同或互為反運算
\[A \oplus B =(A \odot B)^{\prime} \\A \odot B = (A \oplus B)^{\prime} \]"與或非"門
與或非邏輯，A，B之間以及C，D之間都是與的關係，只要A，B或C，D任何一組同時為1，輸出Y就是0，只有當每一組輸入都不全是1時，輸出Y才時1。(兩兩先求或，再求與，再求非)
邏輯真值表
| A | B | C | D | Y |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
其中\(A\),\(B\),\(C\),\(D\)為輸入，\(Y\)為輸出。
\(A\),\(B\),\(C\),\(D\)進行與或非邏輯運算時可以寫成
表示符號為
邏輯公式
基本邏輯公式
布林恆等式
\[0 \cdot A = 0 \]\[1^{\prime} = 0 ; 0^{\prime} = 1 \]\[1\cdot A =A \]\[1\cdot A =A \]\[1+A=1 \]\[A \cdot A= A \]\[0+A=A \]\[A\cdot A^{\prime}=0 \]\[A+A=A \]\[A\cdot B = B\cdot A \]\[A+A^{\prime}=1 \]\[A\cdot(B\cdot C)=(A \cdot B)\cdot C \]\[A+B=B+A \]\[A\cdot(B+C)=A\cdot B + A \cdot C \]\[A+(B+C)=(A+B)+C \]\[(A \cdot B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime} \]\[A+B\cdot C = (A+B)\cdot (A+C) \]\[(A^{\prime})^{\prime}=A \]\[(A+B)^{\prime}=A^{\prime}\cdot B^{\prime} \]注意：\((A+B)^{\prime} \neq A^{\prime} + B^{\prime}\)
舉個非常簡單的例子，假設\(A = 1;B=0;\)帶入到上式裡面，\(0 \neq 1\)，涉及到邏輯函式括號的展開，嚴格按照公式來！！！
常用邏輯公式
1,
\[A+A\cdot B=A \]證明：
\[A+A \cdot B = A \cdot (1+B)=A \cdot 1=A \]2,
\[A+A^{\prime}\cdot B = A+A \cdot B+A^{\prime} \cdot B=A+(A+A^{\prime})\cdot B=A+B \]證明：
\[A+A^{\prime}\cdot B = A+A \cdot B+A^{\prime} \cdot B=A+(A+A^{\prime})\cdot B=A+B \]3,
\[A\cdot B + A \cdot B^{\prime}=A \]證明：
\[A \cdot B + A \cdot B^{\prime} = A \cdot (B + B^{\prime})=A \]4,
\[A \cdot (A+B)=A \]證明：
\[A \cdot (A+B)=A \cdot A+A \cdot B=A + A \cdot B = A \cdot(1+B)=A \]5,
\[A\cdot B + A^{\prime}\cdot C+B\cdot C = A\cdot B + A^{\prime} \cdot C \]證明：
\[A \cdot B + A^{\prime} \cdot C+ B \cdot C \\=A \cdot B +A^{\prime} \cdot C + B\cdot C(A+A^{\prime}) \\=A \cdot B +A^{\prime} \cdot C+A \cdot B \cdot C + A^{\prime} \cdot B \cdot C \\=A \cdot B \cdot(1 +C)+A^{\prime }\cdot C \cdot (B+1) \\=A \cdot B +A^{\prime} \cdot C \]6,
\[A \cdot B+A^{\prime}\cdot C+BCD=A\cdot B +A^{\prime} \cdot C \]證明：
\[A \cdot B+A^{\prime}\cdot C+BCD \\=A \cdot B+ A^{\prime} \cdot C +B \cdot C \cdot D \cdot (A + A^{\prime}) \\=A \cdot B +A^{\prime} \cdot C + A \cdot B \cdot C \cdot D +A^{\prime} \cdot B \cdot C \cdot D \\=A \cdot B \cdot (1 + C\cdot D)+A^{\prime} \cdot C \cdot(1+ B\cdot D) \\=A \cdot B + A^{\prime} \cdot C \]7,
\[A \cdot (A\cdot B)^{\prime}=A\cdot B^{\prime};A^{\prime}\cdot(A \cdot B)^{\prime}=A^{\prime} \]證明：
\[A \cdot (A\cdot B)^{\prime}=A\cdot(A^{\prime}+B^{\prime})=A \cdot A^{\prime}+A \cdot B^{\prime}=A \cdot B^{\prime} \\A^{\prime}\cdot(A \cdot B)^{\prime}=A^{\prime} \cdot (A^{\prime} +B^{\prime})=A^{\prime} \cdot A^{\prime}+A^{\prime}\cdot B^{\prime}=A^{\prime} +A^{\prime} \cdot B^{\prime}=A^{\prime} \cdot (1+ B^{\prime})=A^{\prime} \]邏輯代數的基本定理
代入定理
在任何一個包含變數\(A\)的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中所有\(A\)的位置，則等式仍然成立。這就是代入定理。
因為\(A\)的取值無非就是\(0\)或\(1\),而邏輯式的結果也只有\(0\)和\(1\)兩種情況，所以代入進去自然也成立。
反演定理
對於任意一個邏輯式\(Y\)，若將其中所有的"\(\cdot\)"換成"\(+\)""，"\(+\)"換成"\(\cdot\)"，\(0\)換成\(1\)，\(1\)換成\(0\)，原變數換成反變數，反變數換成原變數，則得到的結果就是\(Y^{\prime}\)，這個規律稱為反演定理。
反演定理需要注意兩個規則：
1，需遵守“先括號，然後乘，最後加的運算優先順序
2，不屬於單個變數上的反號應保持不變。
舉個例子：
\[Y=((AB^{\prime}+C)^{\prime}+D)^{\prime}+C\\ Y^{\prime}=(((A^{\prime}+B)C^{\prime})^{\prime}D^{\prime})^{\prime}C^{\prime} \]對偶定理
對偶式：對於任何一個邏輯式\(Y\)，若將其中的“\(\cdot\)”換成“\(+\)”，"\(+\)"換成“\(\cdot\)”，\(0\)換成\(1\)，\(1\)換成\(0\)，則得到一個新的邏輯式\(Y^{D}\)，這個\(Y^{D}\)就稱為\(Y\)的對偶式，或者說\(Y\)和\(Y^{D}\)互為對偶式。
如果兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等，這就是對偶定理。
如果直接證明兩個邏輯式相等不好證，可以考慮證明他們的對偶式相等。