# [Codeforces Round #751](https://codeforces.com/contest/1601) C.Optimal Insertion 分治 ##
阿新 • • 發佈：2021-10-27
Codeforces Round #751 C.Optimal Insertion 分治
題意
給定陣列\(a,b\) 在陣列\(a\)中按照任意順序插入\(b\) 中所有元素
\[1\leq n,m\leq 10^6\\ 1 \leq a_i ,b_i \leq 10^9 \]分析
有性質：陣列\(b\)必然在\(a\)中不降序排列，證明顯然
對於插入位置為\(i\)的數\(x\)，對\(a\)產生的逆序對的貢獻是$\sum_{j < i}[a_j > x] + \sum_{j > i}[a_j < x] $
我們希望這個數最小
\[\sum_{j < i}[a_j > x] + \sum_{j > i}[a_j < x] = \sum_{j < i}[a_j > x] + (n - i ) - (\sum_{j \leq n}[a_j > x] - \sum_{j < i}[a_j > x]) =C - 2\sum_{j < i}[a_j > x] - i \]其中\(C\)
於是考慮類似處理中位數的做法，把\([a_j > x]\)的\(a_j\)看成1，\([a_j < x]\)的\(a_j\)看成-1，否則看成0，只需找字首最大
於是可以用線段樹維護字首和，對每個\(b\) 在\(O(log)\)時間內找到插入的位置，要動態維護-1，0，1的位置
這裡介紹題解的做法，注意到對於\(b_i\)的位置\(pos_i\),\(pos_i\)具有單調性，於是我們可以先找出\(pos_{mid}\) ，由單調性，對於\(i < mid\)，\(pos_i < pos_{mid}\)