P4443 [COCI2017-2018#3] Dojave 題解

前言：

不知道為什麼都用的雜湊，我的優化暴力全都均攤了，直接最優解（

簡要題意：

給定 \(m\) 和 \(0\sim 2^m-1\) 的全排列 \(a_i\)，問有多少子區間滿足交換兩個不同位置後，整個區間異或和為 \(2^m-1\)

\(m\le 20\)。

分析：

正難則反，考慮求出不合法的區間個數。

以下記 \(n=2^m-1\)。

結論：

若區間內異或和為 \(0\)，並且可以兩兩配對使得兩兩異或和為 \(n\)，則這個區間不合法。

證明：

首先如果區間異或和已經為 \(n\)，那麼只需要交換區間內或區間外的兩個數即可。

否則，設區間 \(S\)

那麼就是找一對 \(i,j\) 使得 \(i\oplus j=t\oplus n(i\in S,j\notin S)\)，不難看出 \(i,j\) 一定是成對出現的，那麼若想要不合法，唯一的可能是集合內兩兩配對的異或和為 \(t\oplus n\)。

問題轉化為找到這種情況。

奇數長度的一定合法，因為一定能找到一個數，和它配對的在區間外。

對於偶數長度的情況，如果配對數量為奇數，不妨以三個為例，有：

由於 \(n\ne 0\)，顯然不存在這種情況。

配對數量為偶數的，不妨以兩個為例，有：

也就是說，當 \(t=0\) 時這個區間不合法，那麼兩兩配對的異或和就是 \(n\) 了。

至此證畢，下面考慮統計。

定義 \(link_i\) 表示與 \(a_i\) 配對的數的位置，即 \(pos_{n\oplus a_i}\)。

對於區間 \([l,p]\) 和 \([p+1,r]\)，如果這兩個區間都不合法，則 \([l,r]\) 也一定不合法，這點通過結論不難看出，那麼我們只需要找對於每個點最近的不合法位置在哪裡即可。

考慮一個最暴力的拓展方法，列舉一個左端點 \(l\)

• 如果 \(\exists\,p\in[l,r],link_p<l\)，即區間記憶體在一個數，與其配對的數在 \(l\) 左邊，那麼直接跳出，因為我們欽定了 \(l\) 為左端點。
• 如果 \(\exists\,p\in[l,r],link_p>r\)，那麼更新 \(r=link_p\)，再重複這個過程，直到跳出或者 \(\forall\, p\in[l,r],l\le link_p\le r\)，即區間內兩兩配對。

這樣的暴力做法可以找到每個最短的不合法區間，利用雙指標可以在 \(O(n^2)\) 的時間內求出，下面考慮優化。

注意到我們暴力跳右端點的時候，跳出或者更新答案的點都是區間 \(link\) 最小值或最大值，那麼就可以在 \(O(mn)\) 的時間內預處理出 \(link\) 的 ST 表實現 \(O(1)\) 更新。

之後對於每個點暴力跳的複雜度就變成了均攤 \(O(1)\) 的，簡要證明如下：

對於每一對匹配 \((i,link_i)\)，設 \(i<link_i\)，那麼當左端點列舉到 \(i\) 的時候看起來會很暴力的一直跳過去，極限狀態下單次 \(O(n)\)，但當左端點列舉到 \(link_i\) 的時候，右端點 \(i<link_i\) 會直接跳出，所以實際上每一對匹配只會跳一次，均攤 \(O(1)\)。

統計同理，暴力列舉左端點，暴力跳最近的不合法區間，由於我們要計算的區間長度必須為 \(4\) 的倍數，那麼只需要統計一路上 \(\bmod 4\) 同餘的個數即可，為了防止算重，對於每個跳到的點標記一下，如果列舉到了標記點直接跳過即可，每個點的時間複雜度同樣是均攤 \(O(1)\)。

總時間複雜度為 \(O(mn+n+n)=O(mn)=O(m\times 2^m)\)