水部落格太快樂了。。。

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烤場

開題兩道期望貼臉，直接看懵了。。。
因為感覺一般概率題都很難，很少有送分的，所以先跳了。。。

於是先看 \(t3\) ，很快寫完 \(O(n)\) 做法，但是發現膜數不一定是質數，然後就假了。。。
寫了 \(60pts\) 暴力。。。
回來看 \(t2\) ，發現是個 \(SX\) 題，很快寫完了。（然而被卡 \(double\) 了。。。
發現 \(t1\) 有 \(40pts\) 部分分，實在太香，寫了就沒往後想（其實也是個 \(SX\) 題，為什麼不想呢？\(40pts\) 太香。。。。

然後想 \(t4\) ，對推式子的能力並不是很自信，於是寫了最暴力的 \(30pts\)

，剩下的時間去肝 \(t3\) ，然而到考試結束也沒想到用笛卡爾樹。。。

分數

\(t1 \ 5pts \ + \ t2 \ 55pts \ + \ t3 \ 60pts \ + \ t4 30pts \ = \ 150pts\)

掛分慘烈，可以說是烤的很差了。。。

\(t1\) 是非常板的一道題，其實只要在想想就可以做出來，但是場上拿了部分分就跑了。。。
沒有想到 \(t2\) 會卡 \(double\) ，要用 \(long \ double\) ，但是看資料範圍這是理應想到的。。
\(t3\) 想了一下笛卡爾樹就去想單調隊列了，因為之前做類似的計數題單調佇列都可以代替笛卡爾樹，還更好寫。
\(t4\)

數學推導的能力太差。。。

題解

t1 集合均值

不難發現，\(B\) 集合中每個數被選概率是一樣的，因此對答案的貢獻係數也是相同的，只要算出貢獻係數既可。
如果一個數在第 \(i\) 次被選，則它對答案的貢獻為 \(\sum_{j=i+1}^{n+1} \frac{1}{j}\) ，因此線性求逆元后直接算即可。。

t2 聚烷撐乙二醇

好名字。。。。

假設已經知道後 \(i\) 個生成器生成的數的期望，記為 \(p_i\)，考慮求出後 \(i+1\) 個生成器生成的數的期望，若當前生成器生成的數比 \(p_i\) 大，那麼肯定選當前生成器生成的數，反之不選。

t3 技術情報局

笛卡爾樹好題。

考慮建出大根笛卡爾樹，對於每個節點，它所對的區間的所有子區間都以它為最大值，以此為基礎資訊合併即可。。

t4 肯德基

記錄巨佬 \(YCX\) 的 \(AK\) 方法。

求：

\[\sum_{i=1}^n \mu(i)^2 i \]

曾經一道題中出現過如下式子：

\[\mu(i)^2 = \sum_{d^2 | i} \mu(d) \]

證明略（巨佬 \(zjjjjjjjjjjj\) 只用 \(\frac{1}{inf} min\) 就證出來了。。。

則

\[ans= \sum_{i=1}^n i \sum_{d^2 | i} \mu(d) \]\[=\sum_{d=1}^{\sqrt{n}} \mu(d) \sum_{d^2 | i} i \]\[=\sum_{d=1}^{\sqrt{n}} \mu(d) \frac{d^2+d^2 \lfloor \frac{n}{d^2} \rfloor}{2} \lfloor \frac{n}{d^2} \rfloor \]\[=\sum_{d=1}^{\sqrt{n}} \mu(d) d^2 S(\lfloor \frac{n}{d^2} \rfloor) \]

其中

\[S(n)=\sum_{i=1}^n i \]

這樣便可以通過整除分塊解決此題。