字首,中綴和字尾
它們都是對錶達式的記法,因此也被稱為字首記法、中綴記法和字尾記法。它們之間的區別在於運算子相對與運算元的位置不同:字首表示式的運算子位於與其相關的運算元之前;中綴和字尾同理。
舉例:
(3 + 4) × 5 - 6 就是中綴表示式
- × + 3 4 5 6字首表示式
3 4 + 5 × 6 -字尾表示式
中綴表示式(中綴記法)
中綴表示式是一種通用的算術或邏輯公式表示方法,操作符以中綴形式處於運算元的中間。中綴表示式是人們常用的算術表示方法。
雖然人的大腦很容易理解與分析中綴表示式,但對計算機來說中綴表示式卻是很複雜的,因此計算表示式的值時,通常需要先將中綴表示式轉換為字首或字尾表示式,然後再進行求值。對計算機來說,計算字首或字尾表示式的值非常簡單。
字首表示式(字首記法、波蘭式)
字首表示式的運算子位於運算元之前。
字首表示式的計算機求值:
從右至左掃描表示式,遇到數字時,將數字壓入堆疊,遇到運算子時,彈出棧頂的兩個數,用運算子對它們做相應的計算(棧頂元素 op 次頂元素),並將結果入棧;重複上述過程直到表示式最左端,最後運算得出的值即為表示式的結果。
例如字首表示式“- × + 3 4 5 6”:
(1) 從右至左掃描,將6、5、4、3壓入堆疊;
(2) 遇到+運算子,因此彈出3和4(3為棧頂元素,4為次頂元素,注意與字尾表示式做比較),計算出3+4的值,得7,再將7入棧;
(3) 接下來是×運算子,因此彈出7和5,計算出7×5=35,將35入棧;
可以看出,用計算機計算字首表示式的值是很容易的。
將中綴表示式轉換為字首表示式:
遵循以下步驟:
(1) 初始化兩個棧:運算子棧S1和儲存中間結果的棧S2;
(2) 從右至左掃描中綴表示式;
(3) 遇到運算元時,將其壓入S2;
(4) 遇到運算子時,比較其與S1棧頂運算子的優先順序:
(4-1) 如果S1為空,或棧頂運算子為右括號“)”,則直接將此運算子入棧;
(4-2) 否則,若優先順序比棧頂運算子的較高或相等,也將運算子壓入S1;
(4-3) 否則,將S1棧頂的運算子彈出並壓入到S2中,再次轉到(4-1)與S1中新的棧頂運算子相比較;
(5-1) 如果是右括號“)”,則直接壓入S1;
(5-2) 如果是左括號“(”,則依次彈出S1棧頂的運算子,並壓入S2,直到遇到右括號為止,此時將這一對括號丟棄;
(6) 重複步驟(2)至(5),直到表示式的最左邊;
(7) 將S1中剩餘的運算子依次彈出並壓入S2;
(8) 依次彈出S2中的元素並輸出,結果即為中綴表示式對應的字首表示式。
例如,將中綴表示式“1+((2+3)×4)-5”轉換為字首表示式的過程如下:
字尾表示式(字尾記法、逆波蘭式)
到達最左端 5 4 3 2 + × 1 + - 空 S1中剩餘的運算子
因此結果為“- + 1 × + 2 3 4 5”。
字尾表示式與字首表示式類似,只是運算子位於運算元之後。
字尾表示式的計算機求值:
與字首表示式類似,只是順序是從左至右:
從左至右掃描表示式,遇到數字時,將數字壓入堆疊,遇到運算子時,彈出棧頂的兩個數,用運算子對它們做相應的計算(次頂元素 op棧頂元素),並將結果入棧;重複上述過程直到表示式最右端,最後運算得出的值即為表示式的結果。
例如字尾表示式“3 4 + 5 × 6 -”:
(1) 從左至右掃描,將3和4壓入堆疊;
(2) 遇到+運算子,因此彈出4和3(4為棧頂元素,3為次頂元素,注意與字首表示式做比較),計算出3+4的值,得7,再將7入棧;
(3) 將5入棧;
(4)接下來是×運算子,因此彈出5和7,計算出7×5=35,將35入棧;
(5) 將6入棧;
(6) 最後是-運算子,計算出35-6的值,即29,由此得出最終結果。
將中綴表示式轉換為字尾表示式:
與轉換為字首表示式相似,遵循以下步驟:
(1) 初始化兩個棧:運算子棧S1和儲存中間結果的棧S2;
(2) 從左至右掃描中綴表示式;
(3) 遇到運算元時,將其壓入S2;
(4) 遇到運算子時,比較其與S1棧頂運算子的優先順序:
(4-1) 如果S1為空,或棧頂運算子為左括號“(”,則直接將此運算子入棧;
(4-2) 否則,若優先順序比棧頂運算子的高,也將運算子壓入S1(注意轉換為字首表示式時是優先順序較高或相同,而這裡則不包括相同的情況);
(4-3) 否則,將S1棧頂的運算子彈出並壓入到S2中,再次轉到(4-1)與S1中新的棧頂運算子相比較;
(5) 遇到括號時:
(5-1) 如果是左括號“(”,則直接壓入S1;
(5-2) 如果是右括號“)”,則依次彈出S1棧頂的運算子,並壓入S2,直到遇到左括號為止,此時將這一對括號丟棄;
(6) 重複步驟(2)至(5),直到表示式的最右邊;
(7) 將S1中剩餘的運算子依次彈出並壓入S2;
(8) 依次彈出S2中的元素並輸出,結果的逆序即為中綴表示式對應的字尾表示式(轉換為字首表示式時不用逆序)。
例如,將中綴表示式“1+((2+3)×4)-5”轉換為字尾表示式的過程如下:
因此結果為“1 2 3 + 4 × + 5 -”(注意需要逆序輸出)。
編寫Java程式將一箇中綴表示式轉換為字首表示式和字尾表示式,並計算表示式的值。其中的toPolishNotation()方法將中綴表示式轉換為字首表示式(波蘭式)、toReversePolishNotation()方法則用於將中綴表示式轉換為字尾表示式(逆波蘭式):
注:
(1) 程式很長且註釋比較少,但如果將上面的理論內容弄懂之後再將程式編譯並執行起來,還是比較容易理解的。有耐心的話可以研究一下。(2) 此程式是筆者為了說明上述概念而編寫,僅做了簡單的測試,不保證其中沒有Bug,因此不要將其用於除研究之外的其他場合。
package qmk.simple_test; import java.util.Scanner; import java.util.Stack; /** * Example of converting an infix-expression to * Polish Notation (PN) or Reverse Polish Notation (RPN). * Written in 2011-8-25 * @author QiaoMingkui */ public class Calculator { public static final String USAGE = "== usage ==\n" + "input the expressions, and then the program " + "will calculate them and show the result.\n" + "input 'bye' to exit.\n"; /** * @param args */ public static void main(String[] args) { System.out.println(USAGE); Scanner scanner = new Scanner(System.in); String input = ""; final String CLOSE_MARK = "bye"; System.out.println("input an expression:"); input = scanner.nextLine(); while (input.length() != 0 && !CLOSE_MARK.equals((input))) { System.out.print("Polish Notation (PN):"); try { toPolishNotation(input); } catch (NumberFormatException e) { System.out.println("\ninput error, not a number."); } catch (IllegalArgumentException e) { System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage()); } catch (Exception e) { System.out.println("\ninput error, invalid expression."); } System.out.print("Reverse Polish Notation (RPN):"); try { toReversePolishNotation(input); } catch (NumberFormatException e) { System.out.println("\ninput error, not a number."); } catch (IllegalArgumentException e) { System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage()); } catch (Exception e) { System.out.println("\ninput error, invalid expression."); } System.out.println("input a new expression:"); input = scanner.nextLine(); } System.out.println("program exits"); } /** * parse the expression , and calculate it. * @param input * @throws IllegalArgumentException * @throws NumberFormatException */ private static void toPolishNotation(String input) throws IllegalArgumentException, NumberFormatException { int len = input.length(); char c, tempChar; Stack<Character> s1 = new Stack<Character>(); Stack<Double> s2 = new Stack<Double>(); Stack<Object> expression = new Stack<Object>(); double number; int lastIndex = -1; for (int i=len-1; i>=0; --i) { c = input.charAt(i); if (Character.isDigit(c)) { lastIndex = readDoubleReverse(input, i); number = Double.parseDouble(input.substring(lastIndex, i+1)); s2.push(number); i = lastIndex; if ((int) number == number) expression.push((int) number); else expression.push(number); } else if (isOperator(c)) { while (!s1.isEmpty() && s1.peek() != ')' && priorityCompare(c, s1.peek()) < 0) { expression.push(s1.peek()); s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), s1.pop())); } s1.push(c); } else if (c == ')') { s1.push(c); } else if (c == '(') { while ((tempChar=s1.pop()) != ')') { expression.push(tempChar); s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar)); if (s1.isEmpty()) { throw new IllegalArgumentException( "bracket dosen't match, missing right bracket ')'."); } } } else if (c == ' ') { // ignore } else { throw new IllegalArgumentException( "wrong character '" + c + "'"); } } while (!s1.isEmpty()) { tempChar = s1.pop(); expression.push(tempChar); s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar)); } while (!expression.isEmpty()) { System.out.print(expression.pop() + " "); } double result = s2.pop(); if (!s2.isEmpty()) throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression."); System.out.println(); if ((int) result == result) System.out.println("the result is " + (int) result); else System.out.println("the result is " + result); } /** * parse the expression, and calculate it. * @param input * @throws IllegalArgumentException * @throws NumberFormatException */ private static void toReversePolishNotation(String input) throws IllegalArgumentException, NumberFormatException { int len = input.length(); char c, tempChar; Stack<Character> s1 = new Stack<Character>(); Stack<Double> s2 = new Stack<Double>(); double number; int lastIndex = -1; for (int i=0; i<len; ++i) { c = input.charAt(i); if (Character.isDigit(c) || c == '.') { lastIndex = readDouble(input, i); number = Double.parseDouble(input.substring(i, lastIndex)); s2.push(number); i = lastIndex - 1; if ((int) number == number) System.out.print((int) number + " "); else System.out.print(number + " "); } else if (isOperator(c)) { while (!s1.isEmpty() && s1.peek() != '(' && priorityCompare(c, s1.peek()) <= 0) { System.out.print(s1.peek() + " "); double num1 = s2.pop(); double num2 = s2.pop(); s2.push(calc(num2, num1, s1.pop())); } s1.push(c); } else if (c == '(') { s1.push(c); } else if (c == ')') { while ((tempChar=s1.pop()) != '(') { System.out.print(tempChar + " "); double num1 = s2.pop(); double num2 = s2.pop(); s2.push(calc(num2, num1, tempChar)); if (s1.isEmpty()) { throw new IllegalArgumentException( "bracket dosen't match, missing left bracket '('."); } } } else if (c == ' ') { // ignore } else { throw new IllegalArgumentException( "wrong character '" + c + "'"); } } while (!s1.isEmpty()) { tempChar = s1.pop(); System.out.print(tempChar + " "); double num1 = s2.pop(); double num2 = s2.pop(); s2.push(calc(num2, num1, tempChar)); } double result = s2.pop(); if (!s2.isEmpty()) throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression."); System.out.println(); if ((int) result == result) System.out.println("the result is " + (int) result); else System.out.println("the result is " + result); } /** * calculate the two number with the operation. * @param num1 * @param num2 * @param op * @return * @throws IllegalArgumentException */ private static double calc(double num1, double num2, char op) throws IllegalArgumentException { switch (op) { case '+': return num1 + num2; case '-': return num1 - num2; case '*': return num1 * num2; case '/': if (num2 == 0) throw new IllegalArgumentException("divisor can't be 0."); return num1 / num2; default: return 0; // will never catch up here } } /** * compare the two operations' priority. * @param c * @param peek * @return */ private static int priorityCompare(char op1, char op2) { switch (op1) { case '+': case '-': return (op2 == '*' || op2 == '/' ? -1 : 0); case '*': case '/': return (op2 == '+' || op2 == '-' ? 1 : 0); } return 1; } /** * read the next number (reverse) * @param input * @param start * @return * @throws IllegalArgumentException */ private static int readDoubleReverse(String input, int start) throws IllegalArgumentException { int dotIndex = -1; char c; for (int i=start; i>=0; --i) { c = input.charAt(i); if (c == '.') { if (dotIndex != -1) throw new IllegalArgumentException( "there have more than 1 dots in the number."); else dotIndex = i; } else if (!Character.isDigit(c)) { return i + 1; } else if (i == 0) { return 0; } } throw new IllegalArgumentException("not a number."); } /** * read the next number * @param input * @param start * @return * @throws IllegalArgumentException */ private static int readDouble(String input, int start) throws IllegalArgumentException { int len = input.length(); int dotIndex = -1; char c; for (int i=start; i<len; ++i) { c = input.charAt(i); if (c == '.') { if (dotIndex != -1) throw new IllegalArgumentException( "there have more than 1 dots in the number."); else if (i == len - 1) throw new IllegalArgumentException( "not a number, dot can't be the last part of a number."); else dotIndex = i; } else if (!Character.isDigit(c)) { if (dotIndex == -1 || i - dotIndex > 1) return i; else throw new IllegalArgumentException( "not a number, dot can't be the last part of a number."); } else if (i == len - 1) { return len; } } throw new IllegalArgumentException("not a number."); } /** * return true if the character is an operator. * @param c * @return */ private static boolean isOperator(char c) { return (c=='+' || c=='-' || c=='*' || c=='/'); } } 下面是程式執行結果(綠色為使用者輸入): == usage == input the expressions, and then the program will calculate them and show the result. input 'bye' to exit. input an expression: 3.8+5.3 Polish Notation (PN):+ 3.8 5.3 the result is 9.1 Reverse Polish Notation (RPN):3.8 5.3 + the result is 9.1 input a new expression: 5*(9.1+3.2)/(1-5+4.88) Polish Notation (PN):/ * 5 + 9.1 3.2 + - 1 5 4.88 the result is 69.88636363636364 Reverse Polish Notation (RPN):5 9.1 3.2 + * 1 5 - 4.88 + / the result is 69.88636363636364 input a new expression: 1+((2+3)*4)-5 Polish Notation (PN):- + 1 * + 2 3 4 5 the result is 16 Reverse Polish Notation (RPN):1 2 3 + 4 * + 5 - the result is 16 input a new expression: bye program exits
本文轉自CSDN博主「Antineutrino」