• 擴充套件歐幾里得演算法

　　擴充套件歐幾里得演算法（英語：Extended Euclidean algorithm）是歐幾里得演算法（又叫輾轉相除法）的擴充套件。已知整數a、b，擴充套件歐幾里得演算法可以在求得a、b的最大公約數的同時，能找到整數x、y（其中一個很可能是負數），使它們滿足貝祖等式：

　　ax + by = gcd(a, b)

如果a是負數，可以把問題轉化成:

　　|a|(-x) + by = gcd(|a|, x) (|a|為a的絕對值，然後令x^' = (-x)。

通常談到最大公約數時，我們都會提到一個非常基本的事實（貝祖等式給定）：給定二個整數a、b，必存在整數x、y使得ax + by = gcd(a,b)

　　眾所周知，已知兩個數a和b，對它們進行輾轉相除，可得它們的最大公約數。不過，在歐幾里得演算法中，我們僅僅利用了每步帶餘除法所得的餘數。擴充套件歐幾里得演算法還利用了帶餘除法所得的商，在輾轉相除的同時也能得到貝祖等式中的x、y兩個係數。以擴充套件歐幾里得演算法求得的係數是滿足裴蜀等式的最簡係數。

另外，擴充套件歐幾里得演算法是一種自驗證演算法，最後一步得到的s_i+1和t_i+1(s_i+1和t_i+1的含義如下)乘以gcd(a,b)之後恰好是a和b,可以用來驗證計算結果是否正確。

擴充套件歐幾里得演算法可以用來計算模反元素(也叫模逆元)，求出模反元素是RSA加密演算法中獲得所需公鑰、私鑰的必要步驟。

• 演算法和舉例

在標準的歐幾里得演算法中，我們記欲求最大公約數的兩個數為a和b，第i步帶餘除法得到的商為q_i，餘數為r_i+1，則歐幾里得演算法可以寫成如下形式：

　　　　　r₀ = a

　　　　　r₁= b

　　　　　.......

　　　　r_i+1 = r_i-1 - q_ir_i 且 0 ≤ r_i+1 < |r_i|

　　　　　 ......

當某步得到的 r_i+1= 0 時，計算結束。上一步得到的r_i即為a，b的最大公約數。

擴充套件歐幾里得演算法在q_i，r_i的基礎上增加了兩組序列，記作s_i和t_i，並s₀ = 1, s₁ = 0, t₀ = 0, t₁ = 1，在歐幾里得演算法每步計算r_i+1= r_i-1

s_i+1 = s_i-1 - q_is_i和 t_i+1 = t_i-1 - q_it_i，亦即:

　　　　r₀= a　　　　　　r₁= b

　　　　 s₀ = 1　　　　　　s₁ = 0

　　　　 t₀= 0　　　　　　t₁ = 1

　　　　 ...... ......

　　　r_i+1= r_i-1- q_ir_i 且 0 ≤ r_i+1< |r_i|　　

　　 s_i+1= s_i-1- q_i s_i

　　 t_i+1= t_i-1- q_i t_i

　　　　......

演算法結束條件與歐幾里得演算法一致，也是r_i+1= 0，此時所得的s_i和t_i即滿足等式gcd(a, b) = r_i = as_i + bt_i。

下表以a = 240，b = 46為例演示了擴充套件歐幾里得演算法：

所得的最大公因數是2，所得貝祖等式為gcd(240, 46) = 2 = -9* 240 + 47 * 46。同時還有自驗證等式|23| * 2 = 46 和 |-120| * 2 = 240。

• 擴充套件歐幾里得演算法和模逆元實現

　　以下是擴充套件歐幾里德演算法的Rust實現：

 1 pub fn extend_euclidean(a: isize,b: isize)->(isize,isize,isize){
 2     if b == 0{
 3         return ( 1,0,a);
 4     }else {
 5         let (mut old_r,mut r) = (a,b);
 6         let (mut old_s,mut s) = (1,0);
 7         let (mut old_t,mut t) = (0,1);
 8         while r != 0{
 9             let q = old_r/r;
10 
11             let temp = old_r;
12             old_r = r;
13             r = temp - q*r;
14 
15             let temp = old_s;
16             old_s = s;
17             s = temp - q*s;
18 
19             let temp = old_t;
20             old_t = t;
21             t = temp - q*t;
22         }
23         (old_s,old_t,old_r)
24     }
26 }

模逆元Rust實現：

 1 pub fn mod_inverse(a: isize,n:isize)->Option<isize>{
 2     let (s,_t,gcd) = extend_euclidean(a,n);
 3     if gcd != 1{
 4        return None;
 5     }
 6     if s > 0{
 7         Some(s)
 8     }else {
 9         Some(s+n)
10     }
11 }

擴充套件歐幾里得演算法以及模逆元測試程式碼：

 1     #[test]
 2     fn ext_gcd_test(){
 3         let a = 7;
 4         let n = 977;
 5         let (s,t,gcd) = extend_euclidean(a,n);
 6         assert_eq!((-279,2,1),extend_euclidean(7,977));
 7 
 8         assert_eq!(mod_inverse(47,977),Some(686));
 9 
10     }