佈於 2021-09-06 23:42

寫在前面

我的好朋友們，大家好哎~ 好久沒有更新啦，所以今天xia寫一些東西，談一下自己對集合的認識，代表我還在呢！^-^ 反正最近就是去外邊幹專案了，又學了一堆奇奇怪怪的知識，也發生了許多神奇的事情~~~

摘要:本文的相關內容主要取自本學年開設的泛函分析課程，對集合的勢理論做了深入的分析與思考，其中還涉及了對映關係、集合勢的意義、無窮大與阿列夫數以及一些看起來的悖論命題等部分。

1引言

初次接觸泛函分析，心裡還是懷著激動的心情，畢竟幾年都沒有接觸數學方面的知識，對於這門課在自己後面的科研學習中到底有多大的作用，暫時我還不能得知，但隱隱約約感到這一門課程將會影響我的數學思維，給我帶來潛移默化的影響。相信大多數人對於數學的直觀感受就是晦澀難懂，尤其是像泛函分析這種純理論推理證明的課程，有這些感受我認為是很正常的，至少當初自己也是這麼認為的，但總的來講正是有了這些高度抽象的理論，才讓我們發現了宇宙的奧妙以及事物的本質，比如海王星的發現，光的波粒二象性等等，無不涉及數學。而相比數學中的那些定理公式，我更喜歡那些定理公式後有趣的數學故事，比如像希爾伯特的"旅館"、牛頓的"蘋果"等，因為每一個故事背後都蘊含著深刻的理論，通過這些故事更能深入地理解那些理論，也會使得數學顯得不在那麼枯燥乏味，尤其是像泛函分析這類純理論推理證明的課程。
說是應用泛函分析課程，倒不如說是預備知識課程，因為學習泛函分析需要掌握眾多的基礎理論知識，像集合、對映、勢、測度以及距離空間等一系類的預備知識。本來打算要寫對測度理論的理解與分析，由於測度自己學的還不夠深入，想了想還是寫寫自己比較感興趣的集合這個專題，本文將主要圍繞集合的勢進行展開，分享一下自己的所學所想。

2集合裡的對映關係

對映作為集合中常見的一種對應關係，算是比較重要的概念。對映關係在日常生活當中，也是非常的普遍，比如在一定年齡段，你的身高總是與體重呈現某種關係，這是一種簡單的對映。在數學當中，函式作為一種常見的對映，相信你已經再熟悉不過了，對於一元連續函式，每一個自變數值都對應著因變數值；而對於一個雙曲線函式，往往一個自變數值有可能對應著兩個因變數值；不管是一元函式還是雙曲線函式等等，這裡的自變數為因變數在函式關係下的原像，而因變數稱為自變數在函式關係下的像，而這個函式就稱之為自變數到因變數的一種對映關係。由於對映關係的不同，所以出現了幾類常見的對映關係，有雙射、單射以及滿射等等。
在談論這幾種對映關係之前，我想先來闡述一下集合的定義，先來看書中的定義是，把具有某種特定性質的具體的或抽象的物件的全體稱作集合，這顯然很難去理解。根據樸素集合論的定義，只要滿足兩個條件：一是所有滿足條件的元素都在集合內，二是集合裡的所有元素都滿足條件，這似乎看起來就沒有那麼抽象了，但這麼簡單的定義肯定會出問題的。在課程學習中老師曾給出這樣的集合：集合那麼， 是否成立，我們來思考一下，假設，那麼顯然滿足“”的條件，所以 ；再做另外一種假設 ，那麼集合內的元素應該滿足“”的條件，所以 ，這個問題被稱之為羅素悖論，查閱相關資料顯示羅素悖論引發了第三次數學危機，至今還仍未完全化解，現在做的最好的就是公理系統加上選擇公理稱之為公理系統。 有了集合的初步概念，再進一步來看那幾種對映，我畫了幾幅圖以來清楚地表示這幾種關係，如圖1所示。好了，闡述了一些基礎理論，做好鋪墊之後，接下來開始討論一些有關集合勢理論的話題，也是本次寫作的重心。

3集合勢理論

要說理解“勢”，我們先從字面意思看起，“勢”在漢語中意思是形勢、勢力，代表的是一種範圍大小，所以說集合的勢也必定是用來表徵集合大小的東西。眾所周知，關於事物的多與少是很普通的概念，例如吃飯的時候，假如有人問：桌子上放的碗的個數與吃飯的人數哪個多？這個問題其實很簡單，只要規定每個人可拿一個碗且最多隻能拿一個碗，最後，如果有人沒有拿到碗，那麼便是人數多於碗的數目；如果桌子上的碗有剩餘，說明人數少於碗的數目；再如果是每個人都拿到了碗且桌子上沒有剩餘的碗，那就說明人數與碗的數目一樣多。在這個問題當中，我們無形之中就運用了集合勢的理論，正因為有了勢的概念，才使得比較有了實際的意義,下面來看一些具體的例項。
對於有限集，比如 ,要比較這兩個集合的大小，那實在太容易了，集合有個元素，稱集合的計數為；同理集合的計數為。在本門課程中有這樣的規定，有限集的勢為集合的計數，所以對於上面這個例子，集合的勢就為，記作 ，同樣集合的勢為，記作 ，因為 ，所以集合的元素比集合多。
有限集的對立面自然就是無限集，所有不是有限集的集合就是無限集，無限集是存在的，例如自然數全體；在這裡需要補充一下，什麼是對等？對等就是、兩個集合存在一個到的一一對應關係，就表明與對等，記作 。剛才提到的自然數全體，其實能和它的真子集(偶數全體)對等，這裡做以簡單的闡釋，感覺還是很有意思的：存在一種對映 滿足條件 ,使集合與一一對應，所以 ,故兩集合的勢相等，說明“正偶數和正整數一樣多”，但這看起來似乎是個悖論，感覺自然數顯然要比偶自然數要多一倍，這也是數學有意思的地方，為了更嚴謹的表達，我覺得稱兩集合的勢一樣大會更好一些。通常凡是與自然數對等的集合稱為可列集，可列集是最小的無限集，因為無限集必與它的一個真子集對等，所以任何無限集必含有一可列子集，可列集的勢記為“ ”（讀作“阿列夫零”）。

4無窮大與阿列夫數

"無窮”這一概念，可能在我們很小的時候，就有自己獨立的見解。比如當被人問我們要多少糖時，我們可能總要說很多很多，這個“很多很多”其實並沒有一個實際的量化值，總之非常的大，而像這樣，沒有極限，沒有止境，也沒有終點，正是“無窮”的概念。讀過一本叫做《從一到無窮大》的書，從微觀世界過渡到巨集觀宇宙，正是詮釋了從無窮小到無窮大的內涵，因為“無窮”是世間的本質特徵，有時可能真的是“只可意會不可言傳”。當初次接觸“無窮”的時候，有時可能很容易將自己繞進去，就比如上一節所提到的正自然數與正偶自然數的問題，從整體上來看，我們運用“無窮”的思維會發現，兩者是一樣多的，因為他們都有“無窮”多個元素，但是又仔細一想，明顯自然數要比偶自然數多一半，這顯然是相悖的，這也就是為什麼要引入集合勢概念的理由。 考慮上一節所提到的阿里夫數，會自然的想到這與無窮大有什麼關係呢？看起來兩個都很大，剛接觸時可能會認為是無窮大，是更大的無窮大，沒錯當初我也是這麼認為的。但隨著課程進一步的學習，我發現兩者的概念其實並沒有太大的交集，因為無窮大是為了描述一個要多大有多大的數，而阿列夫數描述的則是無限集的勢的大小。總的來講，無窮大描述的是“大”，而阿列夫數描述的是“多”，兩者並不能同日而語。

5一些表面看似悖論的命題

要說明以下這些集合兩兩之間等勢，只需要在兩者之間找到一個一一對應的關係即可，由於這是一篇關於集合勢理論的思考寫作，我就也沒必要去將嚴格的證明列在這裡，只是想以課程學習到的推理思維做以簡單分析。

5.1 整數集與有理數集的勢等同

眾所周知，一個有理數可寫成一個分數，其中均為整數，並規定 ,通過改變記號，將分數與平面上的點對應起來；由於，的全體均是可列的，因此平面上的點的全體也是可列集，所以兩者的勢自然相同的。

5.2 全體實數集與的勢等同

對於這個問題，我們很容易可以找到一個對映，作 到 的對映，，顯然這是到的一一對應，所以全體實數集的勢也為。

5.3 直線上的點集與平面上的點集勢等同

這個問題其實是很不直觀的，我們可以想象一條直線上的點集怎麼會和平面上的點一樣多呢，但事實往往和我們想象的不大一樣。數學存在的意義，有時並不是那麼明顯，不像物理世界實實在在的東西，你可能一時半會也看不到立竿見影的效果，但這恰恰才是數學的魅力之所在。 對於這個問題，我們可以先將直線點集雙射於 ，平面點集雙射於 ，下來任取一個數 ，然後取的奇數位上的數拼成：,偶數位上的數拼成：，將其分別賦值給，得到 ，以此類推，這樣就形成了一個一一對映，則兩集合對等，即勢也一樣大。

5.4 希爾伯特的“旅館”

在泛函分析課程學習當中，有這樣一個故事，我覺得很有意思，這恰好就是一個集合之間對等的問題。其中故事是這樣描述的：在一個擁有“無窮”個單人間的旅館，裡面住滿了“無窮”多個客人，這時又來了“無窮”多個新客人要求住店，這時旅館可以讓現有住在房間的客人搬進房間，也就是說讓號房的房客搬進號房，讓號房的人搬進號房，以此類推，這樣奇數號房就都被騰出來了，因為奇自然數集與自然數集是等勢的，所以被騰出來的奇數號房間是可以供給“無窮”多個新房客入住，想想還真是不可思議，這要是放在現實生活中，顯然是無法實現的。

6結語

不知不覺也寫了這麼多內容了，這次主要將泛函分析課程中涉及的有關集合的內容作了一些報告，針對集合勢理論作了相關的分析和思考，但其中也包含了自己對對映、集合的大小、無窮的概念以及一些看似悖論的命題等要點的理解。其次課程中涉及的測度、距離空間等概念也非常令我著迷，因為這些對我來講都是全新的，那總是會充滿期待的。此外，在這裡需要說明的是，這次寫作的語氣還是比較接地氣的，因為我覺得既然是對某個話題的分析與思考，也沒有必要那麼正式，那樣會顯得有些僵硬更不好去表達自己的見解。
最後我想說的是，通過本次的分析與思考，雖然這門課程有一大堆定理推理證明有許多自己還未真正的掌握，但是每一次的推理證明過程，都讓我有一種耳目一新的感覺，能收穫許多的數學方面考慮問題的思維，我想這也是這門課程最大的收穫。課程的學習讓我認識到了又一個全新的數學世界，不在僅僅侷限於當初中學乃至本科所接觸的數學空間。

7參考文獻

[1] 薛小平，張國敬等. 應用泛函分析[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2012.
[2] 夏道行等. 實變函式論與泛函分析(上冊)[M]. 北京：高等教育出版社，2010.