加法和減法是計算機中最基本的運算，計算機時時刻刻都離不開它們，所以它們由硬體直接支援。為了提高加減法的運算效率，硬體電路要設計得儘量簡單。

對於有符號數，記憶體要區分符號位和數值位，對於人腦來說，很容易辨別，但是對於計算機來說，就要設計專門的電路，這無疑增加了硬體的複雜性，增加了計算的時間。要是能把符號位和數值位等同起來，讓它們一起參與運算，不再加以區分，這樣硬體電路就變得簡單了。

另外，加法和減法也可以合併為一種運算，就是加法運算，因為減去一個數相當於加上這個數的相反數，例如，5 - 3 等價於 5 + (-3)，10 - (-9) 等價於 10 + 9。

如果能夠實現上面的兩個目標，那麼只要設計一種簡單的、不用區分符號位和數值位的加法電路，就能同時實現加法和減法運算，並且非常高效。實際上，這兩個目標都已經實現了，真正的計算機硬體電路就是如此簡單。

然而，簡化硬體電路是有代價的，這個代價就是有符號數在儲存和讀取時都要進行轉化。那麼，這個轉換過程究竟是怎樣的呢？接下來我們就詳細地講解一下。

首先，請讀者先記住下面的幾個概念。

1) 原碼

將一個整數轉換成二進位制形式，就是其原碼。例如short a = 6;，a 的原碼就是0000 0000 0000 0110；更改 a 的值a = -18;，此時 a 的原碼就是1000 0000 0001 0010。

通俗的理解，原碼就是一個整數本來的二進位制形式。

2)反碼

談到反碼，正數和負數要區別對待，因為它們的反碼不一樣。

對於正數，它的反碼就是其原碼（原碼和反碼相同）；負數的反碼是將原碼中除符號位以外的所有位（數值位）取反，也就是 0 變成 1，1 變成 0。例如short a = 6;，a 的原碼和反碼都是0000 0000 0000 0110；更改 a 的值a = -18;，此時 a 的反碼是1111 1111 1110 1101。

3) 補碼

正數和負數的補碼也不一樣，也要區別對待。

對於正數，它的補碼就是其原碼（原碼、反碼、補碼都相同）；負數的補碼是其反碼加 1。例如short a = 6;

在計算機記憶體中，整數一律採用補碼的形式來儲存。這意味著，當讀取整數時還要採用逆向的轉換，也就是將補碼轉換為原碼。將補碼轉換為原碼也很簡單：先減去 1，再將數值位取反即可。

補碼到底是如何簡化硬體電路的

假設 6 和 18 都是 short 型別的，現在我們要計算 6 - 18 的結果，根據運算規則，它等價於 6 + (-18)。

如果採用原碼計算，那麼運算過程為：

6 - 18 = 6 + (-18)
= [0000 0000 0000 0110]_原+ [1000 0000 0001 0010]_原
= [1000 0000 0001 1000]_原
= -24

直接用原碼錶示整數，讓符號位也參與運算，對於類似上面的減法來說，結果顯然是不正確的。

於是人們開始繼續探索，不斷試錯，後來設計出了反碼。下面就演示了反碼運算的過程：

6 - 18 = 6 + (-18)
= [0000 0000 0000 0110]_反+ [1111 1111 1110 1101]_反
= [1111 1111 1111 0011]_反
= [1000 0000 0000 1100]_原
= -12

這樣一來，計算結果就正確了。

然而，這樣還不算萬事大吉，我們不妨將減數和被減數交換一下位置，也就是計算 18 - 6 的結果：

18 - 6 = 18 + (-6)
= [0000 0000 0001 0010]_反+ [1111 1111 1111 1001]_反
= [10000 0000 0000 1011]_反
= [0000 0000 0000 1011]_反
= [0000 0000 0000 1011]_原
= 11

按照反碼計算的結果是 11，而真實的結果應該是 12 才對，它們相差了 1。

藍色的1是加法運算過程中的進位，它溢位了，記憶體容納不了了，所以直接截掉。

6 - 18 的結果正確，18 - 6 的結果就不正確，相差 1。按照反碼來計算，是不是小數減去大數正確，大數減去小數就不對了，始終相差 1 呢？我們不妨再看兩個例子，分別是 5 - 13 和 13 - 5。

5 - 13 的運算過程為：

5 - 13 = 5 + (-13)
= [0000 0000 0000 0101]_原+ [1000 0000 0000 1101]_原
=[0000 0000 0000 0101]_反+ [1111 1111 1111 0010]_反
=[1111 1111 1111 0111]_反
= [1000 0000 0000 1000]_原
= -8

13 - 5 的運算過程為：

13 - 5 = 13 + (-5)
= [0000 0000 0000 1101]_原+ [1000 0000 0000 0101]_原
=[0000 0000 0000 1101]_反+ [1111 1111 1111 1010]_反
= [10000 0000 0000 0111]_反
= [0000 0000 0000 0111]_反
= [0000 0000 0000 0111]_原
= 7

這足以證明，剛才的猜想是正確的：小數減去大數不會有問題，而大數減去小數的就不對了，結果始終相差 1。

相差的這個 1 要進行糾正，但是又不能影響小數減去大數，怎麼辦呢？於是人們又絞盡腦汁設計出了補碼，給反碼打了一個“補丁”，終於把相差的 1 給糾正過來了。

下面演示了按照補碼計算的過程：

6 - 18 = 6 + (-18)
= [0000 0000 0000 0110]_補+ [1111 1111 1110 1110]_補
= [1111 1111 1111 0100]_補
= [1111 1111 1111 0011]_反
= [1000 0000 0000 1100]_原
= -12

18 - 6 = 18 + (-6)
= [0000 0000 0001 0010]_補+ [1111 1111 1111 1010]_補
= [10000 0000 0000 1100]_補
= [0000 0000 0000 1100]_補
= [0000 0000 0000 1100]_反
= [0000 0000 0000 1100]_原
= 12

5 - 13 = 5 + (-13)
=[0000 0000 0000 0101]_補+ [1111 1111 1111 0011]_補
=[1111 1111 1111 1000]_補
=[1111 1111 1111 0111]_反
= [1000 0000 0000 1000]_原
= -8

13 - 5 = 13 + (-5)
=[0000 0000 0000 1101]_補+ [1111 1111 1111 1011]_補
= [10000 0000 0000 1000]_補
= [0000 0000 0000 1000]_補
= [0000 0000 0000 1000]_反
= [0000 0000 0000 1000]_原
= 8

你看，採用補碼的形式正好把相差的 1 糾正過來，也沒有影響到小數減去大數，這個“補丁”真是巧妙。

小數減去大數，結果為負數，之前（負數從反碼轉換為補碼要加 1）加上的 1，後來（負數從補碼轉換為反碼要減 1）還要減去，正好抵消掉，所以不會受影響。

而大數減去小數，結果為正數，之前（負數從反碼轉換為補碼要加 1）加上的 1，後來（正數的補碼和反碼相同，從補碼轉換為反碼不用減 1）就沒有再減去，不能抵消掉，這就相當於給計算結果多加了一個 1。

補碼這種天才般的設計，一舉達成了本文開頭提到的兩個目標，簡化了硬體電路。