題目

假設你正在爬樓梯。需要 n 階你才能到達樓頂。每次你可以爬 1 或 2 個臺階。請問有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？

注意：給定 n 是一個正整數，其範圍為：1 ≤ n ≤ 100。

例如：

給定一個正整數：2，返回結果：2

說明：共有 2 種方法爬到樓頂，第一種為 1階 + 1階，第二種為 2 階。

給定一個正整數：3，返回結果：3

說明：共有 3 種方法爬到樓頂，第一種為 1階 + 1階 + 1階，第二種為 1階 + 2階，第三種為 2階 + 1階。

實現思路

分析上面題目，可以發現第 n 個臺階只能從第 n-1 個臺階或第 n-2 個臺階走上去，那麼就可以得到以下結論：

第 n 個臺階的走法 = 第 n-1 個臺階的走法 + 第 n-2 個臺階的走法

看到這裡，是不是感覺很熟悉，沒錯，這不就是 斐波那契數列 嘛，不同的地方在於我們這裡的第1項值是1，第二項值是2。那麼接下來應該就很簡單了，我們要做的就是求出 斐波那契數列 的第 n 項。

之前有寫過關於 斐波那契數列 的題目，可以前往瞭解：Python程式設計題9--斐波那契數列

程式碼實現--非遞迴

def climbStairs(n):
    a, b = 1, 1
    while n > 1:
        a, b = b, a + b
        n -= 1
    return b

程式碼實現--遞迴

def climbStairs(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return n
    return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2)
 

如果在演算法題中，當 n 的值比較小時，上面遞迴解法是沒什麼沒問題的，但如果 n 的值較大，比如上面的 n = 100 ，這個時候必然會提示超出時間限制。

return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2)

在上面程式碼中，每次都需要2次遞迴，同時會出現大量的重複計算，隨著 n 的增大，導致耗時非常久，效能變得非常差，另外呼叫函式次數過多，也容易出現棧溢位。

因此，我們對遞迴程式碼進行優化如下：

def climbStairs_recursive(n, first, second):
    if n == 1 or n == 2:
        return n
    elif n == 3:
        return first + second
    return climbStairs_recursive(n - 1, second, first + second)

def climbStairs(n):
    return climbStairs_recursive(n, 1, 2)
 

優化後的程式碼中，我們每次只需要1次遞迴，並且直接通過 first、second 記錄當前相加的2個數值，避免了重複計算。