7.11 NOI模擬賽 graph 生成函式 dp 多項式
阿新 • • 發佈：2020-07-12
LINK:graph
HDU題庫裡的原題 沒做過自閉。
考慮dp 設\(f_{i,j}\)表示前i個點構成j個聯通塊是樹的方案數。
對於一次詢問答案即為\(\sum_{j}f_{n,j}j^k\)
考慮如何dp出來 顯然每次列舉1號所在的連通塊的大小 考慮這個連通塊是否構成樹 即可。
具體轉移不再贅述 需要預處理一下i個點的樹的個數 i個點的連通塊個數 i個點不是樹是連通塊的個數。
複雜度\(n^3\) 利用分治NTT來優化可以到 \(n^2log^2\)比較繁雜且不是正解。
正解當然是考慮生成函式。
設\(T(x)\)表示i個點的生成樹個數的EGF G(x)為i個點連通塊個數的EGF F_{w}(x)表示k值為w時的答案的EGF E(x)為i個點聯通但不是樹的生成樹個數.
那麼顯然有\(E(x)=e^{G(x)-T(x)},F_{w}(x)=\sum_{i}\frac{i^w\cdot T^i(x)}{i!}E(x)\)
顯然當w==1時可以化簡 這啟示我們利用自然冪轉斯特林數\(x^k=\sum_{i}x^\underline{i}\cdot s(k,i)\)
然後可以化簡得到 \(f_{k}(x)=\sum_x^k s(k,x)\cdot e^{T(y)}E(y)T^x(y)\)
設H(x)表示i個點的圖的個數。
那麼有\(H(x)=E(x)\cdot e^{T(x)}\)
可得 \(f_{k}(x)=\sum_{x=0}^k s(k,x)\cdot H(y)T^x(y)\)
預處理\(knlogn\) 查詢 \(Tk\)
值得一提的是 T(x)的第0項是0 因為如果為1答案是錯誤的 而H(x)第0項是1 因為可以上面的定義式計算出來為1.
code bf
//#include<bits\stdc++.h> #include<iostream> #include<iomanip> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cctype> #include<cstdlib> #include<queue> #include<deque> #include<stack> #include<vector> #include<algorithm> #include<utility> #include<bitset> #include<set> #include<map> #define ll long long #define db double #define INF 2000000000 #define ldb long double #define pb push_back #define put_(x) printf("%d ",x); #define get(x) x=read() #define gt(x) scanf("%d",&x) #define gi(x) scanf("%lf",&x) #define put(x) printf("%d\n",x) #define putl(x) printf("%lld\n",x) #define gc(a) scanf("%s",a+1) #define rep(p,n,i) for(RE int i=p;i<=n;++i) #define go(x) for(int i=lin[x],tn=ver[i];i;tn=ver[i=nex[i]]) #define fep(n,p,i) for(RE int i=n;i>=p;--i) #define vep(p,n,i) for(RE int i=p;i<n;++i) #define pii pair<int,int> #define mk make_pair #define RE register #define P 1000000007 #define gf(x) scanf("%lf",&x) #define pf(x) ((x)*(x)) #define uint unsigned long long #define ui unsigned #define EPS 1e-8 #define sq sqrt #define S second #define F first #define mod 998244353 using namespace std; char buf[1<<15],*fs,*ft; inline char getc() { return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++; } inline int read() { RE int x=0,f=1;RE char ch=getc(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getc();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getc();} return x*f; } const int MAXN=1010; int n=100,k,T; int f1[MAXN],f2[MAXN],f3[MAXN],sum[21][MAXN]; int f[MAXN][MAXN],g[MAXN],inv[MAXN],fac[MAXN]; //f1[i]表示i個點形成的樹的個數.f2[i]表示i個點形成連通塊但不是樹的方案數.f3[i]表示i個點形成的連通塊的方案數. //f[i][j]表示i個點形成j棵樹的方案數. inline int ksm(int b,int p) { int cnt=1; while(p) { if(p&1)cnt=(ll)cnt*b%mod; b=(ll)b*b%mod;p=p>>1; } return cnt; } inline int mul(int a,int b){return (ll)a*b%mod;} inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;} inline int mus(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;} inline int C(int a,int b){return a<b?0:(ll)fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;} int main() { freopen("xuanyiming.in","r",stdin); freopen("xuanyiming.out","w",stdout); f3[1]=f1[1]=fac[0]=fac[1]=1; rep(2,n,i)f1[i]=ksm(i,i-2),fac[i]=mul(fac[i-1],i); inv[n]=ksm(fac[n],mod-2); fep(n-1,0,i)inv[i]=mul(inv[i+1],i+1); rep(2,n,i) { f3[i]=ksm(2,i*(i-1)/2); rep(1,i-1,j) { f3[i]=mus(f3[i],mul(mul(C(i-1,j-1),f3[j]),ksm(2,(i-j)*(i-j-1)/2))); } f2[i]=mus(f3[i],f1[i]); } f[0][0]=1;f[1][1]=1; rep(2,n,i) { rep(0,i,j) { rep(1,i,k) { //不做貢獻. f[i][j]=add(f[i][j],mul(mul(C(i-1,k-1),f2[k]),f[i-k][j])); //做貢獻 if(j>=1)f[i][j]=add(f[i][j],mul(mul(C(i-1,k-1),f1[k]),f[i-k][j-1])); } } } rep(1,n,j) { int ww=j; rep(1,20,c) { rep(j,n,i)sum[c][i]=add(sum[c][i],mul(ww,f[i][j])); ww=mul(ww,j); } } get(T); while(T--) { get(n);get(k); put(sum[k][n]); } return 0; }
code sol
//#include<bits\stdc++.h>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<bitset>
#include<set>
#include<map>
#define ll long long
#define db double
#define INF 10000000000000000ll
#define ldb long double
#define pb push_back
#define put_(x) printf("%d ",x);
#define get(x) x=read()
#define gt(x) scanf("%d",&x)
#define gi(x) scanf("%lf",&x)
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#define putl(x) printf("%lld\n",x)
#define gc(a) scanf("%s",a+1)
#define rep(p,n,i) for(RE int i=p;i<=n;++i)
#define go(x) for(int i=lin[x],tn=ver[i];i;tn=ver[i=nex[i]])
#define fep(n,p,i) for(RE int i=n;i>=p;--i)
#define vep(p,n,i) for(RE int i=p;i<n;++i)
#define pii pair<int,int>
#define mk make_pair
#define RE register
#define P 1000000007
#define gf(x) scanf("%lf",&x)
#define pf(x) ((x)*(x))
#define uint unsigned long long
#define ui unsigned
#define EPS 1e-4
#define sq sqrt
#define S second
#define F first
#define mod 998244353
using namespace std;
char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc()
{
return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
}
inline int read()
{
RE int x=0,f=1;RE char ch=getc();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getc();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getc();}
return x*f;
}
const int MAXN=200010,maxn=21,G=3;
int A[MAXN],fac[MAXN],inv[MAXN],rev[MAXN],B[MAXN],C[MAXN],D[MAXN],O[MAXN];
int n,T,k,lim;
int s[maxn][maxn];
int F[maxn][MAXN];
inline int ksm(int b,int p)
{
p%=mod-1;
int cnt=1;
while(p)
{
if(p&1)cnt=(ll)cnt*b%mod;
b=(ll)b*b%mod;p=p>>1;
}
return cnt;
}
inline void NTT(int *a,int op)
{
vep(0,lim,i)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int len=2;len<=lim;len=len<<1)
{
int mid=len>>1;
int wn=ksm(G,op==1?(mod-1)/len:mod-1-(mod-1)/len);
vep(1,mid,i)O[i]=(ll)O[i-1]*wn%mod;
for(int j=0;j<lim;j+=len)
{
vep(0,mid,i)
{
int x=a[i+j],y=(ll)a[i+j+mid]*O[i]%mod;
a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
if(op==-1)
{
int INV=ksm(lim,mod-2);
vep(0,lim,i)a[i]=(ll)a[i]*INV%mod;
}
}
int main()
{
freopen("xuanyiming.in","r",stdin);
freopen("xuanyiming.out","w",stdout);
s[1][1]=1;k=20;n=50000;fac[0]=O[0]=1;
rep(1,n,i)fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
fep(n-1,0,i)inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%mod;
rep(2,k,i)rep(1,i,j)s[i][j]=(s[i-1][j-1]+(ll)j*s[i-1][j])%mod;
B[0]=B[1]=A[1]=1;rep(2,n,i)A[i]=(ll)ksm(i,i-2)*inv[i]%mod,B[i]=(ll)ksm(2,(ll)(i-1)*i/2)*inv[i]%mod;
lim=1;while(lim<=n+n)lim=lim<<1;
vep(1,lim,i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?lim>>1:0);
NTT(A,1);NTT(B,1);
vep(0,lim,i)C[i]=(ll)A[i]*B[i]%mod;
NTT(C,-1);vep(n+1,lim,i)C[i]=0;
rep(1,k,j)
{
rep(0,n,i)F[j][i]=(ll)C[i]*fac[i]%mod;
NTT(C,1);
vep(0,lim,i)C[i]=(ll)C[i]*A[i]%mod;
NTT(C,-1);vep(n+1,lim,i)C[i]=0;
}
get(T);
while(T--)
{
get(n);get(k);
int ans=0;rep(1,k,i)ans=(ans+(ll)s[k][i]*F[i][n])%mod;
put(ans);
}
return 0;
}