• $\operatorname{prufer}$序列
  • 定義
  • 構造
    • 無根樹到序列
    • 序列到無根樹
  • 性質與相關結論

\(\operatorname{prufer}\)序列

定義

一種無根樹上的數列。

由頂點標號的無根樹轉化而來。且對於一棵確定的無根樹，其對應的\(\operatorname{prufer}\)序列也是唯一確定的。

構造

無根樹到序列

有兩個基本操作：

• 找到一個編號最小的葉節點，不妨記為\(x\)。
• 把與\(x\)相連的節點加入序列，然後把\(x\)從樹中刪除。

重複這兩個操作，直到整棵樹剩下2個節點。

容易知道，我們加入序列的數共有\(n-2\)個，這\(n-2\)個數構成的序列就是\(\operatorname{prufer}\)

舉個例子，對於下圖這棵樹：

對它執行上述操作：

• \(x=4,p=\{2\}\)
• \(x=5,p=\{2,3\}\)
• \(x=3,p=\{2,3,1\}\)
• \(x=6,p=\{2,3,1,2\}\)

那麼對於這棵有6個節點的節點標號無根樹，我們就得到了長度為4的\(\operatorname{prufer}\)序列\(\{2,3,1,2\}\)

程式碼實現：

inline void Tree_Prufer() {
	for (ri i=1;i<n;++i) f[i]=read(),++ind[f[i]];
	for (ri i=1,j=1;i<=n-2;++i,++j) {
		while (ind[j]) ++j;
		p[i]=f[j];
		while (i<=n-2 && !(--ind[p[i]]) && p[i]<j) p[i+1]=f[p[i]],++i;
	}
	for (ri i=1;i<=n-2;++i) ans^=(1ll*i*p[i]);
	printf("%lld",ans);
}
 

序列到無根樹

三個基本操作：

• 取出序列最前面的元素，記為\(x\)。
• 取出在點集中且當前不在序列中的最小元素。
• 在\(x,y\)間連邊。

顯然最後點集中還會剩下2個點（ \(n-(n-2)=2\) ），把這兩點連一條邊。

基本就是上面的逆操作，程式碼如下：

inline void Prufer_Tree() {
	for (ri i=1;i<=n-2;++i) p[i]=read(),++ind[p[i]];
	p[n-1]=n;
	for (ri i=1,j=1;i<n;++i,++j) {
		while (ind[j]) ++j;
		f[j]=p[i];
		while (i<n && !(--ind[p[i]]) && p[i]<j) f[p[i]]=p[i+1],++i;
	}
	for (ri i=1;i<n;++i) ans^=(1ll*i*f[i]);
	printf("%lld",ans);
}
 

性質與相關結論

性質：\(\operatorname{prufer}\)序列與無根樹唯一確定對應。

結論1：度數為\(d[i]\)的節點恰好會在\(\operatorname{prufer}\)序列中出現\(d[i]-1\)次。

簡單證明：

先考慮最簡單的情況，該節點度數為1，那麼它會被直接刪掉，也就是出現的次數為0；

將此思想拓展，若該節點度數 \(d[i]\) 大於1，那麼它有邊直接相連的節點（除了它的父親）（這個節點數也就是它的度數）每被刪掉一個，它就會在序列中出現一次。所以共出現 \(d[i]-1\) 次。

結論2：\(n\)個節點的完全圖的生成樹個數為\(n^{n-2}\)。

簡單證明：

\(n\)個點的無根樹對應的\(\operatorname{prufer}\)序列的長度為\(n-2\)，這\(n\)個原來的節點標號均可能在這\(n-2\)個位置上出現，也就是說，有\(n^{n-2}\)種可能的\(\operatorname{prufer}\)序列。每個\(\operatorname{prufer}\)序列都可以對應一棵生成樹。

結論3：對於給定度數\(d[i]\)的無根樹，它的\(\operatorname{prufer}\)序列有

種情況。

簡單證明：

由結論1可得：

\(\Rightarrow\) 求\(d[i]-1\)個\(i\)的可重全排列個數。

*可重全排列：全排列個數 除以 重複元素內部全排列個數

例題待補。