方法介紹：迴歸（regression）
1. 迴歸（regression）
1.1 起源與定義
迴歸最早是被高爾頓提出的。他通過研究發現：如果父母都比較高一些，那麼生出的子女身高會低於父母的平均身高；反之，如果父母雙親都比較矮一些，那麼生出的子女身高要高於父母平均身高。他認為，自然界有一種約束力，使得身高的分佈不會向高矮兩個極端發展，而是趨於回到中心，所以稱為迴歸。
目前，從用法角度將其定義為一種數值（scalar）預測的技術，區別於分類（類別預測技術）。
1.2 不同的用法
1.2.1 解釋（Explanation）
迴歸可用於做實證研究，研究自變數和因變數之間的內在聯絡和規律，常見於社會科學研究中。
- 網際網路的普及降低了教育不平等程度嗎？
- 大學生就業選擇的影響因素有哪些？
- 醫療電子商務場景下客戶滿意度的影響因素有哪些？
1.2.2 預測（Prediction）
迴歸也可用來做預測，根據已知的資訊去準確預測未知的事情。
- 股市預測：根據過去10年股票的變動、新聞諮詢、公司併購諮詢等，預測股市明天的平均值。
- 商品推薦：根據使用者過去的購買記錄和候選的商品資訊，預測使用者購買某個商品的可能性。
- 自動駕駛：根據汽車的各個sensor的資料，例如路況和車距等，預測正確的方向盤角度。
1.3 模型的構建
無論目的是解釋還是預測，都需要掌握與任務相關的規律（認識世界），即建立合理的模型。
不同的一點是，解釋模型只需要基於訓練集構建，一般具備解析解（計量經濟模型）。 預測模型必須在測試集上做檢驗和調整，一般不具備解析解，需要通過機器學習的方法去調整引數。因此，同樣的模型框架和資料集，最優的解釋模型和預測模型很可能是不相同的。
本文主要關注預測模型的構建，不進一步涉及解釋模型相關的內容。
2. 基於機器學習的模型構建
我們以Pokemon精靈攻擊力預測（Combat Power of a pokemon）這個任務為例，梳理機器學習三個步驟的詳細內容。
- 輸入：進化前的CP值、物種（Bulbasaur）、血量（HP）、重量（Weight）、高度（Height）
- 輸出：進化後的CP值
2.1 模型假設 - 線性模型
為了方便，我們選擇最簡單的線性模型來作為完成迴歸任務的模型框架。我們可以使用單特徵或者多特徵的線性迴歸模型，後者會更加複雜，模型集合會更大。
為選擇合理的模型框架，提前對資料集進行探索，觀察變數間的關係是很有必要的，這將決定最終將哪些變數放入模型，以及是否需要對變數進行再次處理（二次項、取倒數等）。
可以看出，橫軸和縱軸主要呈直線關係，也有一些二次關係（可考慮加二次項）。
模型框架（預先設定） + 引數（待估計） = 模型（目標）
目前模型的引數包括各個特徵的權重 \(w_i\) 以及偏移量 \(b\)。
2.2 模型評價 - 損失函式
本文闡述的迴歸任務屬於有監督學習場景，因此需要收集足夠的輸入輸出對以指導模型的構建。
有了這些真實的資料，那我們怎麼衡量模型的好壞呢？從數學的角度來講，我們使用損失函式（Loss function） 來衡量模型的好壞。Loss function基於模型預測值和實際值的差異來設定。
在本文中，我們選擇常用的均方誤差作為損失函式。
2.3 模型調優 - 梯度下降
當模型非凸時，是沒有解析解的，只能通過啟發式的方式迭代優化，常用的方法是梯度下降。
首先，我們隨機選擇一個 \(w^0\)，然後計算微分判定移動的方向，再更新對應引數，迴圈往復，直到找到最低點（兩次更新之間差異小於閾值或者達到預先設定好的迭代次數）。
對於有多個待更新引數的模型，步驟是基本一致的，只不過做的是偏微分。
在梯度下降的過程中，會遇到一些問題，導致無法達到最優點。
這些問題如何解決以後會涉及到。
3. 模型構建中的問題和解決
3.1 評價模型的泛用性（Generalization）
好模型不僅要在訓練集中表現優異，在未知的資料集（測試集，真實應用場景）中也應該一樣。
因此，我們必須要計算模型在測試機上的效能，理想情況下不能有較大的下滑。
3.2 提高模型的擬合度
若模型過於簡單，則模型集合較小，可能無法包含真實的模型，即出現欠擬合問題。
我們可以選擇更復雜的模型去優化效能。以使用1元2次方程舉例，顯著提高了預測效能。
我們還可以在模型中增加調節項（Pokemon種類）來改進模型。
模型在訓練集和測試集的效能表現如下所示：
3.3 防止過擬合（Overfiting）的出現
如果我們繼續使用更高次的模型，可能會出現過擬合問題。
我們可以通過加入正則項來防止過擬合問題的出現。
正則項權重變化對模型效能的影響如下所示：
4. 迴歸 - 程式碼演示
現在假設有10個x_data和y_data，x和y之間的關係是y_data=b+w*x_data。b，w都是引數，是需要學習出來的。現在我們來練習用梯度下降找到b和w。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
# matplotlib沒有中文字型，動態解決
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Simhei'] # 顯示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解決儲存影象是負號'-'顯示為方塊的問題
# 生成實驗資料
x_data = [338., 333., 328., 207., 226., 25., 179., 60., 208., 606.]
y_data = [640., 633., 619., 393., 428., 27., 193., 66., 226., 1591.]
x_d = np.asarray(x_data)
y_d = np.asarray(y_data)
x = np.arange(-200, -100, 1) # 引數的候選項，指偏移項b
y = np.arange(-5, 5, 0.1) # 引數的候選項，指權重w
Z = np.zeros((len(x), len(y)))
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# 得出每種可能組合下的loss，共需要計算100*100=10000次
for i in range(len(x)):
for j in range(len(y)):
b = x[i]
w = y[j]
Z[j][i] = 0 # meshgrid吐出結果：y為行，x為列
for n in range(len(x_data)):
Z[j][i] += (y_data[n] - b - w * x_data[n]) ** 2
Z[j][i] /= len(x_data)
以上程式碼生成了實驗資料，並用窮舉法計算出了所有可能組合的loss，其中最小值為10216。
接下來我們嘗試使用梯度下降法來快速尋找到較小的loss值。
# linear regression
b=-120
w=-4
lr = 0.000005
iteration = 10000 #先設定為10000
b_history = [b]
w_history = [w]
loss_history = []
import time
start = time.time()
for i in range(iteration):
m = float(len(x_d))
y_hat = w * x_d +b
loss = np.dot(y_d - y_hat, y_d - y_hat) / m
grad_b = -2.0 * np.sum(y_d - y_hat) / m
grad_w = -2.0 * np.dot(y_d - y_hat, x_d) / m
# update param
b -= lr * grad_b
w -= lr * grad_w
b_history.append(b)
w_history.append(w)
loss_history.append(loss)
if i % 1000 == 0:
print("Step %i, w: %0.4f, b: %.4f, Loss: %.4f" % (i, w, b, loss))
end = time.time()
print("大約需要時間：",end-start)
# Step 0, w: 1.6534, b: -119.9839, Loss: 3670819.0000
# Step 1000, w: 2.4733, b: -120.1721, Loss: 11492.1941
# Step 9000, w: 2.4776, b: -121.6771, Loss: 11435.5676
可以發現，梯度下降法可以快速從初始值迭代到合適的引數組合，接近最優引數。但我們發現，達到最優值的過程卻非常緩慢。使用下面的程式碼可以對尋優過程進行視覺化。
# plot the figure
plt.contourf(x, y, Z, 50, alpha=0.5, cmap=plt.get_cmap('jet')) # 填充等高線
plt.plot([-188.4], [2.67], 'x', ms=12, mew=3, color="orange") # 最優引數
plt.plot(b_history, w_history, 'o-', ms=3, lw=1.5, color='black')
plt.xlim(-200, -100)
plt.ylim(-5, 5)
plt.xlabel(r'$b$')
plt.ylabel(r'$w$')
plt.title("線性迴歸")
plt.show()
如下圖所示，引數最終尋優的方向是正確的，但是因為迭代次數不夠所以提前停止。
我們將迭代次數更改為10萬次，結果如下所示：
迭代次數仍然不足，我們繼續將迭代次數更改為100萬次，結果接近最優，如下所示：
迭代次數太多會消耗過多的計算資源，我們可以通過調整學習率來加快速度。當我們將學習率設定為之前的兩倍（0.00001）時，迭代10萬次即可達到接近最優的結果，如下所示；
但需要注意的是，學習率如果設定得太高，可能會發生振盪，無法收斂。下圖是我們將學習率設定為0.00005時的情況。
總而言之，我們要清楚機器學習的強大能力以及不穩定性，然後學習相關原理進而熟練使用。