前言

早上寫模擬賽被毒瘤題卡了 \(2\) 個小時，本以為是個 nb 思維題，沒想到居然是個科技題（

正文

我們都知道排序可以分為 基於比較的排序 和 基於值域的排序，也可以分為 穩定排序 和 非穩定排序，當然也可以按時間複雜度分。

事實上，排序還可以分為基於資料的排序和不基於資料的排序，OI 中幾乎所有的排序都是基於資料的排序。

如何評判一個排序是否基於資料？

首先我們只考慮基於比較的排序，桶排之類排除在外。如果一個排序的比較順序和輸入資料有關，那麼就是基於資料的排序，否則就不是。

可能很難理解什麼是與輸入資料有關，舉個例子。比如歸併排序，當我們歸併兩個有序序列時，需要維護當前指標，而當前指標的移動與資料的分佈有關。再比如快速排序，如果資料不同，則每次遞迴的長度也不同，比較自然也不相同。

相反，氣泡排序就是典型的不基於資料的排序。因為無論輸入的資料是什麼樣的，我們比較的位置和順序都是不變的。

對於不基於資料的排序，我們可以將整個排序過程畫出一個固定的流程圖，這張圖也被稱為排序網路。

上面就是氣泡排序的排序網路。不難發現如果兩次比較不相交，則可以進行平行計算。而最少進行的平行計算次數，就是排序網路的層數。目前最優秀的排序網路能做到 \(\mathcal{O}(N\log^2N)\) 的比較次數，和 \(\mathcal{O}(\log^2)\) 層，如雙調排序，奇偶歸併等。

驗證一個比較網路是否是排序網路是 NPC 問題，更多內容在 matrix67 的部落格。

題目

不知道這和 OI 沒什麼關聯的 trick 居然真的能出成題目。

首先仔細模擬以下不難發現，直接排序，swap 操作並沒有什麼用。因為如果 swap 了，那麼反饋的結果也會改變，對應的操作也會改變。

考慮 \(V\ge 500\)，直接氣泡排序即可。如果是求序列最大值只用 \(\log N\) 次參觀，每次我們將奇數和偶數位的比較平行計算即可。

對於 \(V\ge 100\) 和 \(V\ge 50\) 分別對應層數為 \(\log^2 N\) 和 \(\dfrac{\log^2N}{2}\) 的排序網路。