前言

題解

senpai

列舉字首長度 \(s\)，滿足條件當且僅當 \((\sum_{i=1}^si^2-n)/2\) 可以表示為不大於 \(s^2\) 的平方數之和。

歸納可以得出 \(\forall n\ge 13\)，\([129,129+n^2)\) 可以寫成不大於 \(n^2\) 的平方數之和。

所以對 \(s\le 12\) 的部分暴力跑揹包，\(s>12\) 的時候，若 \((\sum_{i=1}^si^2-n)/2\) 太大那麼顯然可以，否則根據之前揹包的結果可以求出。

hamil

容易發現最優解路徑的點數是 \(n\)，構造就用雙向連結串列維護，記錄顏色交替的頂點 \(p\)

時間複雜度 \(O(n^2)\)。

perm

顯然 \(f\) 不升，\(f_1=n\)，\(f_n=1\)，否則無解。

考慮從小到大放數，設現在要放 \(p(<n)\)，\(f_k>p\)，\(f_{k+1}\le p\)

對這個條件 dp，發現連續空位段之間的順序沒有關係，複雜度就是劃分數級別的。

sum

容易發現 \(g\) 會有一堆一大段相同，所以轉置一下，考慮求 \(c(x)\) 表示使所有子段和 \(\le x\) 的最小操作次數。

設 \(p_i\) 表示對 \(1,2,\cdots,i\) 的操作次數之和，則 \(p_i\ge p_{i-1}\)，\(p_j-p_i\ge\sum_{k=i+1}^ja_i-x\pod{i<j}\)，要讓 \(p_n\) 儘量小。

這是一個差分約束形式，最暴力的方法就是造一個有向圖跑最長路：

• \(i\rightarrow j\) 連權值為 \(\sum_{k=i}^{j-1}a_k-x\) 的邊（\(1\le i<j\le n+1\)）
• \(i\rightarrow i+1\) 連權值為 \(0\) 的邊（\(1\le i\le n\)）

然後就可以看出來 \(c(x)=\max_k(t_k-xk)\)，其中 \(t_k\) 表示 \(k\) 個互不相交的段的和最大值，這個是經典問題。

隨著 \(x\) 減少取到最大值的 \(k\) 也是增加的，所以拿這一堆直線切出的就是一個凸包。

最後求答案的時候把詢問離線下來，分界點就是 \(t_{k+1}-t_k\)，左開右閉的每一段是一堆線段形成等差數列的形式，最後剩下的散塊要特判。

時間複雜度 \(O((n+q)\log n)\)。