CF653G Move by Prime 題解
阿新 • • 發佈：2021-11-14
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Description.
定義 \(F(S)\) 為把 \(S\) 中每次可以把每個元素 \(\times p,\div p(p\in\text{prime})\) 把所有元素變相同的最少步數。
求 \(\sum_{T\subseteq S}F(T)\)。
Solution.
質因數可以拆開，分別求解
對於每個質因數，有一個序列表示指數
現在相當於對所有子序列求到中位數差之和
可以考慮列舉中位數為 \(m\)（定義中位數偏左
然後相當於要求 \(\sum|X-m|\) 其中 \(m\) 是中位數。
絕對值拆開後，\(m\) 的貢獻肯定是 \(0\)。
相當於在左邊選 \(a\)
可以列舉 \(b-a+i-1\)，意義是左邊不選個數和右邊選個數之和。
因為 \(i\) 當前確定，左邊不選、右邊選總方案數就相當於從 \(n-1\) 裡選出這些數，方案數是 \(\dbinom{n-1}{b-a+i-1}\)。
則有貢獻為
然後預處理組合數字首和就做完了。
Coding.
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//Coded by Kamiyama_Shiki on 2021.11.14 {{{ //是啊……你就是那隻鬼了……所以被你碰到以後，就輪到我變成鬼了 #include<bits/stdc++.h> using namespace std;typedef long long ll; template<typename T>inline void read(T &x) { x=0;char c=getchar(),f=0; for(;c<48||c>57;c=getchar()) if(!(c^45)) f=1; for(;c>=48&&c<=57;c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48); f?x=-x:x; } template<typename T,typename...L>inline void read(T &x,L&...l) {read(x),read(l...);}//}}} const int N=300005,P=1000000007; namespace Binom//{{{ { int fc[N],fi[N],iv[N];//dbinit inline int ksm(int x,int q=P-2) {int r=1;for(;q;q>>=1,x=1ll*x*x%P) if(q&1) r=1ll*r*x%P;return r;} inline void dbinit(int n=N-1) { fc[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) fc[i]=1ll*fc[i-1]*i%P; iv[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++) iv[i]=1ll*iv[P%i]*(P-P/i)%P; fi[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) fi[i]=1ll*fi[i-1]*iv[i]%P; } inline int C(int n,int m) {return n<0||m<0||n<m?0:1ll*fc[n]*fi[m]%P*fi[n-m]%P;} }using Binom::dbinit;using Binom::C;using Binom::ksm;//}}} const int V=N;int pr[V],pc,ls[V];char pv[V];//prinit{{{ inline void prinit(int n=V-1) { pv[1]=1,ls[1]=0;for(int i=1;i<=n;i++) { if(!pv[i]) pr[++pc]=i,ls[i]=i; for(int j=1;j<=pc&&i*pr[j]<=n;j++) {pv[i*pr[j]]=1,ls[i*pr[j]]=pr[j];if(i%pr[j]==0) break;} } }//}}} int n,a[N],c[N],qz[N],rs=0;vector<int>fc[N]; int main() { read(n),prinit(),dbinit();for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]); int pw=ksm(2,n-1);for(int i=n-1;~i;i--) qz[i]=(qz[i+1]+(c[i]=C(n-1,i)))%P; for(int i=1,x=a[i];i<=n;x=a[++i]) while(ls[x]) {int v=ls[x],c=0;while(x%v==0) x/=v,c++;fc[v].push_back(c);} for(int i=1;i<N;i++) if(!fc[i].empty()) { sort(fc[i].begin(),fc[i].end());int cnt=n-fc[i].size(); //printf("%d\n",i);for(int j:fc[i]) printf("%d ",j);putchar('\n'); for(int j=0;j<(int)fc[i].size();j++) rs=(rs+1ll*fc[i][j]*(pw-2ll*qz[cnt+j]%P+P+c[cnt+j]))%P; //for(int j=0;j<(int)fc[i].size();j++) printf("gg %d - %lld + %d\n",pw,2ll*qz[cnt+j]%P,c[cnt+j]); }return printf("%d\n",rs),0; }