CF1588F Jumping Through the Array

給定一個長為 \(n\) 的序列 \(a\) 以及排列 \(p\)，實現以下操作：

• 給定 \(l,r\)。求 \(\sum\limits_{i=l}^{r} a_i\)；
• 給定 \(x,y\)。我們將 \(i\to p_i\) 連成一個個置換環，將 \(x\) 所在環上的每個點點權加 \(y\)；
• 給定 \(x,y\)。交換 \(p_x,p_y\)。

\(1\le n\le 2\cdot 10^5,-10^8\le a_i\le 10^8,1\le p_i\le n,1\le q\le 2\cdot 10^5\)。

時間限制 \(\text{8000ms}\)

Solution

考慮按照時間根號分治，我們將連續 \(B\) 個操作一起處理。

我們將操作到的點（即 \(2\) 操作的 \(x\) 和 \(3\) 操作的 \(x,y\)）染黑，只有這些黑點是進行操作的。

考慮操作前的每個置換環，它形如這樣：

我們將其劃分成若干條“鏈”（紅色區域），可以發現操作中每條鏈都是以整體出現的，即 \(\Delta\) 相等：

而鏈只有 \(2B\) 個，因此我們只需要對每個鏈維護 \(\Delta\) 即可。

對於 \(1\) 操作，區間 \([l,r]\) 的點權和即為操作前的 \(\sum\limits_{i=l}^{r}\)

對於 \(2\) 操作，它必然是給當前 \(x\) 所在的鏈，以及這條鏈所在的環的其他鏈，增加 \(y\)，複雜度 \(O(B)\)；

對於 \(3\) 操作，我們交換兩個黑點連到的鏈編號，是 \(O(1)\) 的。

至此，我們可以在 \(O(\frac{q}{B}\cdot (B^2\log n+n))\) 複雜度解決。

取 \(B=\sqrt{n/\log n}\)，時間複雜度 \(O(q\sqrt{n\log n})\)。