一、摘要

素數篩是一種用於判斷小於n的所有素數的演算法。其中包括埃拉託斯特尼篩（埃式篩）和尤拉篩（線性篩、歐式篩）兩類，本文將簡要介紹埃式篩和歐式篩，並未對其中原理進行詳細的介紹，若讀者想了解兩種篩選法的原理請檢視演算法學習筆記(17): 素數篩。

二、埃式篩和尤拉篩介紹

1. 埃式篩

埃式篩的一個思路是，使用一個數組vector<bool> isPrime表示數字i是否是素數。從數字2開始遍歷所有的小於n的數字i：

• 假如數字i是素數，即isPrime[i]=true，那麼就把所有大於等於i*i，小於n的數字i的倍數標記為不是素數，即令isPrime[i*j]=false。
• 假如數字i
  是合數，那麼就跳過。

程式碼如下：

#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n = 50;
    vector<bool> isPrime(n, true);
    isPrime[0] = isPrime[1] = false;
    for (int i = 2; i < n;i++) {
        if (isPrime[i]) {	// 如果數字i為素數，那麼就把大於等於i*i的，i的倍數設為不是素數
            for (int j = i * i; j < n; j += i) {
                isPrime[j] = false;
            }
        }
    }
    // 輸出所有小於n的素數
    for (int i = 0; i < isPrime.size(); i++) {
        if (isPrime[i]) {
            cout << i << " ";
        }
    }
    return 0;
}
 

2. 歐式篩

埃式篩存在一個問題是：例如，對於合數12，當遍歷到數字i=2時，會把i*6=2*6=12標記為合數，當遍歷到數字3時，又會把3*4=12標記為合數，因此埃式篩會存在對於一個合數多次標記的問題。歐式篩演算法消除了這個問題。

歐式篩的思想是，使用一個數組vector<bool> isPrime表示數字i是否是素數，另外使用另一個數組vector<int> prime記錄下所有已經找到的素數。從數字2開始遍歷所有數字i：

• 假如數字i為素數，即isPrime[i]=true，就把數字i加入到陣列prime；之後用陣列prime中已找到的所有素數prime[j]
  與數字i相乘，標記數字i*prime[j]為合數，直到i*prime[j]大於等於n。
• 假如數字i為合數，即isPrime[i]=false，就直接用陣列prime中已找到的所有素數prime[j]與數字i相乘，標記i*prime[j]為合數，直到i*prime[j]大於等於n或者i%prime[j]==0。

程式碼如下：

#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n = 50;
    vector<bool> isPrime(n, true);
    vector<int> prime;
    isPrime[0] = isPrime[1] = false;
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        if (isPrime[i] == true) {
            prime.push_back(i);
        }

        for (int j = 0; j < prime.size() && i * prime[j] < n; j++) {
            isPrime[i * prime[j]] = false;
            if (i % prime[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i < prime.size(); i++) {
        cout << prime[i] << " ";
    }
    return 0;
}

三、參考

[1.] 演算法學習筆記(17): 素數篩
[2.] Leetcode 計算質數 -- 埃氏篩、線性篩解析