題目連結：Boundary

題意：給你n個點，問最多有多少個點與原點(0,0)在同一個圓上

思路：由於三點確定一個圓，所以如果列舉剩餘的兩個點，然後再列舉其他點是否在圓上，那麼複雜度為$O(n^3)$，會TLE

但我們可以利用$“$同弧所對的圓周角相等$”$這一性質，所以可以先列舉一個點P，然後列舉其他的點A，計算$\angle OAP$，找到這些角里面角的眾數即可，但是角相等只能說明弧相等，並不能保證這兩段弧為同一段弧，例如下圖，$\angle OA_{1}P=\angle OA_{2}P$，但這兩段弧並不是同一段弧

我們只需要計算一邊，所以用叉積來判斷即可，既滿足$\vec{OP}\times \vec{OA}<0$或者$\vec{OP}\times \vec{OA}>0$

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 2010;
const double eps = 1e-10;

struct Vector {
    double x, y;
    Vector() { }
    Vector(double tx, double ty) : x(tx), y(ty) { }
};

 
int n;
pair<double, double> p[N];
double a[N], t;

inline double dot(Vector a, Vector b)
{
    return a.x * b.x + a.y * b.y;
}

inline double cross(Vector a, Vector b)
{
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
}

inline double calc(Vector a, Vector b)
{
    double la = sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y);
    
 
double lb = sqrt(b.x * b.x + b.y * b.y);
    return acos(dot(a, b) / (la * lb));
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf%lf", &p[i].first, &p[i].second);
    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cnt = 0;
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            Vector op = Vector(p[i].first, p[i].second);
            Vector oa = Vector(p[k].first, p[k].second);
            Vector ap = Vector(p[k].first - p[i].first, p[k].second - p[i].second);
            Vector ao = Vector(p[k].first, p[k].second);
            if (cross(op, oa) < 0) a[++cnt] = calc(ap, ao);
        }
        sort(a + 1, a + cnt + 1);
        int imax = 0, c = 0;
        for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
            if (fabs(a[i] - t) < eps) c++;
            else {
                c = 1;
                t = a[i];
            }
            imax = max(imax, c);
        }
        res = max(imax, res);
    }
    printf("%d\n", res + 1);
    return 0;
}