星期日，哥參加了上大學以來的第一次計算導論與程式設計的上機考試，可是最後一道題沒AC。

這道題給了卡特蘭數的一種通項公式，讓你求卡特蘭數的第n項。

從考場走出來之後，心裡空落落的，不僅因為這道題沒打出來直接影響了整個考試，還因為自己似乎從來沒完全出於興趣研究過某個數學問題……

這道題被我AC了後，我上網小查了一下卡特蘭數的有關知識，發現卡特蘭數還和幾種型別的問題聯絡緊密。
所以，我覺得有必要在此小小的研究一下神奇的卡特蘭數~

一、卡特蘭數是什麼？

*卡特蘭數（英語：Catalan number），又稱卡塔蘭數、明安圖數，是組合數學中一種常出現於各種計數問題中的數列。以比利時的數學家歐仁·查理·卡特蘭的名字來命名。1730年左右被蒙古族數學家明安圖使用於對三角函式冪級數的推導而首次發現，1774年被髮表在《割圜密率捷法》

。

————百度百科*

卡特蘭數的定義：

*There are many, many combinatorial definitions of the Catalan numbers, but the most common might be that Cn counts the number of lattice paths from (0,0) to (n,n) that only take unit step right and up, and never cross the diagonal line y=x (but they are allowed to touch the diagonal line). There is not a unique definition of Catalan numbers because all of the various combinatorial definitions are equivalent to each other, so which one you take as your definition is a stylistic preference.
卡特蘭數的組合定義很多，但是最常見的定義也許是從點(0,0)走到(n,n)，只向右向上走且不越過對角線的路徑的數目。卡特蘭數沒有唯一的定義，因為所有不同的組合定義都是相互等價的，所以哪個是你心目中的定義方式，就看你自己了。