數位dp是一種計數用的dp，一般就是要統計一個區間[le,ri]內滿足一些條件數的個數。所謂數位dp，字面意思就是在數位上進行dp咯。

數位還算是比較好聽的名字，數位的含義：一個數有個位、十位、百位、千位......數的每一位就是數位啦！

之所以要引入數位的概念完全就是為了dp。數位dp的實質就是換一種暴力列舉的方式，使得新的列舉方式滿足dp的性質，然後記憶化就可以了。

windy 數 [P2657]

題目描述

不含前導零且相鄰兩個數字之差至少為$2$的正整數被稱為 windy 數。windy 想知道，在$a$和$b$之間，包括$a$和$b$，總共有多少個 windy 數？

#include<bits/stdc++.h>
#define R register int
using namespace std;
int a,b,l,num[12],dp[12][10];
//dp[i][j]表示第i位前一個數為j的合法方案數 
inline int dfs(int len,int up,int ok)
{
    R i,ed,ans=0; //遞迴邊界，既然是按位列舉，最低位是 1
    if(len<1) return 1; //合法即返回 1 
    if(!ok&&~dp[len][up]&&up!=-3) return dp[len][up];
    //沒有最高位限制，已經搜過了
    //常規寫法都是在沒有限制的條件記憶化，這裡與下面記錄狀態是對應
    ed=ok?num[len]:9; //根據ok判斷列舉的上界up
    for(i=0;i<=ed;i++) //計算 
	    if(abs(i-up)>=2)
        ans+=dfs(len-1,(!i&&up==-3)?up:i,ok&&(i==ed));
    //狀態轉移 根據有無前導 0搜尋 
    if(!ok&&up!=-3)  dp[len][up]=ans;
	//沒有最高位限制且沒有前導0時記錄結果 
    //對應上面的記憶化 
    return ans;
}

inline int sovle(int x)//數位分解 
{
    l=0;
    while(x) num[++l]=x%10,x/=10;
    return dfs(l,-3,1);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&a,&b);
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    printf("%d",sovle(b)-sovle(a-1));
}
 

煩人的數學作業 [P4999]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=205;
typedef long long LL;
const LL mod=1e9+7;
LL a[N],dp[N][N],n,m,t;

LL dfs(LL x,int y,int st)
{
	if(x<1) return y;
	if(!st&&~dp[x][y]) return dp[x][y];
	int re=st?a[x]:9;
	LL sum=0;
	for(int i=0;i<=re;i++)
	{
		sum=(sum+dfs(x-1,y+i,(st&&re==i)))%mod;
	} 
	if(!st) dp[x][y]=sum;
	return sum;
}

LL solve(LL x)
{
	t=0;
	while(x)
	{
		a[++t]=x%10;
		x/=10;
	}
	return dfs(t,0,1)%mod;
}

int main()
{
	int t;
	cin>>t;
	memset(dp,-1,sizeof dp);
	while(t--)
	{
	    cin>>m>>n;
	    cout<<(solve(n)-solve(m-1)+mod)%mod<<endl;
	}
	return 0;
 }