鄰近期末了，要開始複習了呢 qwq，於是就開始做一些線性代數的習題，正好學校方面提供了相關自測題，於是將一些比較有難度 （指計算難度） 的題總結在這裡 qwq

由於會涉及過多計算過程，故初等變換的具體過程就省去 qwq

\[\newcommand{\bbm}{\begin{bmatrix}} \newcommand{\ebm}{\end{bmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{end{bmatrix}} \newcommand{\T}{\mathbf{T}} \rule{750px}{1px} \]

（自測題（1）三、2）設矩陣 \(A, B\)

滿足 \(AB = A + 2B\)，其中 \(A = \bbm 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \ebm\)，求矩陣 \(B.\)

解：化簡該式，有 \(AB - 2B = A\)，從而 \((A - 2E)B = A\)，而 \(\det(A - 2E) \ne 0\)，則矩陣 \(A - 2E\) 可逆，則有 \(B = (A - 2E)^{-1}A.\)

可解得 \((A - 2E)^{-1} = \bbm 2 & -1 & -1 \\ 2 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \ebm.\)

則 \(B = \bbm 5 & -2 & -2 \\ 4 & -3 & -2 \\ -2 & 2 & 3 \ebm.\)

（自測題（1）三、3）設 \(B = \bbm 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ebm, C = \bbm 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \ebm\)

，滿足 \(A(E - C^{-1}B)^{\mathbf{T}}C^{\mathbf{T}} = E\)，簡化此式，並求 \(A.\)

解：化簡該式：

\[A(E - (C^{-1}B)^{\T})C^{\T} = E \\ A(C^{\T} - B^{\T}(C^{\T})^{-1}C^{\T}) = E \\ A(C^{\T} - B^{\T}) = E \\ A(C - B)^{\T} = E \\ \]

顯然 \((C - B)^{\T}\) 可逆，則有 \(A = ((C - B)^{\T})^{-1} = \bbm 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \ebm.\)

（自測題（1）六、）若矩陣 \(A\) 滿足 \(A^2 = A\)，證明 \(A + E\) 可逆。

解：考慮到 \(A(A + E) = A^2 + A = 2A.\)

則有：

\[A(A + E) = 2A + 2E - 2E \\ A(A + E) = 2(A + E) - 2E \\ (A - 2E)(A + E) = -2E \\ - \frac{1}{2} (A - 2E)(A + E) = E \]

故矩陣 \(A + E\) 可逆且其逆矩陣為 \(- \frac{1}{2} (A - 2E).\)