前言

在平面直角座標系 \(xOy\) 中，以原點 \(O\) 為極點，以 \(x\) 軸非負半軸為極軸建立極座標系，如下圖所示。

則同樣的幾何物件[點，線，面，等等]，比如點 \(M\)，它會既有平面直角座標 \((x,y)\)，也會有極座標 \((\rho,\theta)\)，那麼這二者之間必然會有相互轉化的橋樑。

相互轉化

• 極座標化為直角座標，指的是將包含 \(\rho\) 和 \(\theta\) 的方程 \(f(\rho,\theta)=0\) 等價轉化為不含有 \(\rho\) 和 \(\theta\) ，而只含有 \(x\) 和 \(y\) 的方程 \(g(x,y)=0\)，經常使用的變形有給等式的兩邊同時乘以 \(\rho\)
  [或除以 \(\rho\) ] ，或同時平方；

使用公式：\(\rho^2=x^2+y^2\)，\(\rho\cdot \cos\theta=x\)，\(\rho\cdot \sin\theta=y\)，\(\tan\theta=\cfrac{y}{x}\)；

舉例：①\(\rho=2\cos\theta\)，兩邊同乘以\(\rho\)，得到\(\rho^2=2\rho\cos\theta\)，即 \(x^2+y^2=2x\)由極座標方程化為直角座標方程時要注意變形的等價性，通常總要用 \(\rho\) 去乘方程的兩端，應該檢查極點是否在曲線上，若在，是等價變形，否則，不是等價變形。；

②\(\rho=\cfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{1+9\sin^2\theta}}\)

即\(\rho^2+9(\rho\sin\theta)^2=10\)，即\(x^2+10y^2=10\)

③ \(\rho=\cfrac{6}{1-2\cos\theta}\) ，

化簡方法，去分母，移項[應該移動哪一項]，平方的順序，

• 直角座標化為極座標，指的是將包含 \(x\) 和 \(y\) 的方程 \(m(x,y)=0\) 等價轉化為不含有 \(x\) 和 \(y\) ，而只含有 \(\rho\) 和 \(\theta\) 的方程 \(n(\rho,\theta)=0\)，經常使用的變形有給等式的兩邊同時除以 \(\rho\)
  ；

使用公式：\(x^2+y^2=\rho^2\)，\(x=\rho\cdot\cos\theta\)，\(y=\rho\cdot\sin\theta\)；

舉例：③由\(x^2+y^2=2x\)得到，即\(\rho^2=2\rho\cos\theta\)，即\(\rho(\rho-2\cos\theta)=0\)，

故得到\(\rho=0\)，或\(\rho=2\cos\theta\)，而\(\rho=2\cos\theta\)中包含\(\rho=0\)，

故得到結果為\(\rho=2\cos\theta\)，相當於上述變形中直接約去\(\rho\) ；

典例剖析

已知點 \(P\) 的直角座標按伸縮變換 \(\left\{\begin{array}{l}x'=2x,\\ y'=\sqrt{3}y\end{array}\right.\) 變換為點 \(P(6,-3)\)， 限定 \(\rho>0\)，\(0\)\(\leqslant\)\(\theta\)\(<\)\(2\pi\) 時， 求點 \(P\) 的極座標。

解 設點 \(P\) 的直角座標為 \((x, y)\)，由題意得 \(\left\{\begin{array}{l}6=2x,\\-3=\sqrt{3}y,\end{array}\right.\) 解得 \(\left\{\begin{array}{l}x=3,\\y=-\sqrt{3},\end{array}\right.\)

所以 點 \(P\) 的直角座標為 \((3,-\sqrt{3})\)，

\(\rho=\sqrt{3^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=2\sqrt{3}\)， \(\tan \theta=\cfrac{-\sqrt{3}}{3}\)，

\(0 \leqslant \theta<2 \pi\)， 點 \(P\) 在第四象限， \(\theta=\cfrac{11 \pi}{6}\)，

故點 \(P\) 的極座標為 \(\left(2\sqrt{3}, \cfrac{11\pi}{6}\right)\) .

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