ICPC NEAU Programming Contest 2020 隨便置換

題目大意：

中文題就自己看吧

題解：

這個題目還是很複雜的，挺繞的，想說明白也需要很強的表述能力。

• 首先假設 \(a\) 表示原始串，\(c\) 表示目標串，\(p\) 表示置換串，那麼題目中已知的等式關係是 \(a=b*p^m\) 求 \(p\)

• 第一步先求 \(p^m\) 這個應該不太難求

• 直白的來說就是直接把 \(p^m\) 當作一個置換串 \(s\) ，已知原串和目標串，求這個中間置換串 \(s\)

• 完成第一步之後，這個目標串和原始串就沒什麼太大的意義了，接下來看這個中間置換串 \(s\)

• \(s\) 也就是 \(p^m\)， 這個是一個變化串，他把 \(a\) 按照本身的變化規律變成了 \(c\) 串。

• 接下來說說 \(s\) 串的變化規律：

  • \(s[1]=6\) 表示原來第1個數變成了6

  • \(s[2]=4\) 表示原來第2個數變成了4，\(s[i]\) 表示的原來的第 \(i\) 個變成了第 \(s[i]\)

  • ... 以此類推

• 已知 \(s\) 串的變化規律，那麼我要求 \(s^2\) 這個串，那是不是相當於原來的 \(s\) 串往後挪了兩位，\(s[1]\) 變成了6之後又變成了3，\(s[2]\) 變成了4之後又變成了7，所以可以得到 \(s^2=3745621\)

  這個串，這個串的變化規律也很好求，就是原來的串往後挪了兩位。

  這個圖就是上面哪個圖兩格兩格的跳變化出來的圖，就是說 \(s\) 串按照 \(s\) 串的規律變化一次之後任選一個起點，之後的第 \(i\) 點是原來的這個點的位置往後跳 \(i*2\)

• 接下來討論\(p\) 的變化規律，已知 \(p^m=p*p...*p\) ，所以 \(p^m\) 是原來 \(p\) 往後跳 \(m\) 格形成的圖。

• 此例題的 \(m=2\) ，先任意選一個起點，假設起點是1：

  • 那麼1後面的第 \(m\) 個格子是6，b[2]=6

    b[0] = 1 b[1]=0 b[2]=6 b[3]=0 b[4]=0 b[5]=0 b[6]=0

  • 那麼6後面的第 2個格子是3，所以第4個 b[4]=3

    b[0] = 1 b[1]=0 b[2]=6 b[3]=0 b[4]=3 b[5]=0 b[6]=0

  • 以此類推，最後可以得出這個 \(p\) 的變化規律

    b[0] = 1 b[1]=4 b[2]=6 b[3]=7 b[4]=3 b[5]=5 b[6]=2

• 這個變化規律圖得到之後，就可以求 \(p\) 這串是什麼了，這個的求法和之前從串變成規律圖操作差不多。

  \(p[1]=4\) \(p[4]=6\) ...

以上都是這個題目的整體求解思路，程式碼中有部分細節講解。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e5+10;
int a[maxn],f[maxn],cnt[maxn],b[maxn],p[maxn];

int Find(int x){
    return x==f[x]?x:f[x]=Find(f[x]);
}

void init(int n){
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i,cnt[i]=0;
}
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        init(n);
        for(int i=1,x;i<=n;i++){
            scanf("%d",&x);
            a[x]=i;
            if(Find(i)!=Find(x)){
                f[i]=x;
                /*
                 * 這一步再為求環上的節點數量做準備
                 * 也可以用dfs求環上的節點數量
                 * 但是這些都是簡單環，所以用並查集比較簡單
                 */
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++) cnt[Find(i)]++;
        /*
         * a就是p^m這個串
         * cnt[i]表示以i點為根節點的這個環的節點數量
         * 接下來求判斷是否有解，因為題目可能不止一個環，所以要判斷每一個環的大小是不是都是與m互質
         * 如果不互質，那麼不可能找到答案，因為不互質，那麼總會有一些點找不到
         */
        int flag = 1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(!cnt[i]) continue;
            if(gcd(cnt[i],m)!=1){
                flag = 0;
                break;
            }
        }
        if(!flag){
            printf("NO\n");
            continue;
        }
        /*
         * 判斷有解之後就開始求p這個串的變化規律了
         */
//        for(int i=1;i<=n;i++) printf("a[%d]=%d\n",i,a[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(!cnt[i]) continue;
            int l = cnt[i], w = i;
            for(int j=0;j<l;j++){
                b[j*1ll*m%l] = w;
                w=a[w];
//                printf("b[%d]=%d\n",j*m%l,b[j*1ll*m%l]);
            }
            for(int j=0;j<l;j++){
                p[b[j]]=b[(j+1)%l];
            }
            /*
             * 這裡是在求p串，w首先等於i，表示將i定為起點
             * 所以b[0]=w
             * 從這個點往後跳m格b[m]=a[w]
             * 得到b串之後再轉化為p串即可
             * !!!注意這個位置p[b[j]]=b[(j+1)%l]
             * 這是因為我存的這個變化串是 a[i] 表示的是原來的第i個變成了第a[i]個
             * 。。。。好像沒有講清楚，自己思考吧，差不多就是怎麼變成圖的就怎麼變回來
             * 假設 原來是 x1->x2 a[x2]=x1
             * 那麼之後的 x1->x2  p[x1]=x2
             */
        }
        printf("YES\n");
        for(int i=1;i<n;i++) printf("%d ",p[i]);
        printf("%d\n",p[n]);
    }

}