高等數學

1.導數定義：

導數和微分的概念

\(f'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}\) （1）

或者：

\(f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\) （2）

2.左右導數導數的幾何意義和物理意義

函式\(f(x)\)在\(x_0\)處的左、右導數分別定義為：

左導數：\({{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)\)

右導數：\({{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\)

3.函式的可導性與連續性之間的關係

Th1: 函式\(f(x)\)在\(x_0\)處可微\(\Leftrightarrow f(x)\)在\(x_0\)處可導

Th2: 若函式在點\(x_0\)

Th3: \({f}'({{x}_{0}})\)存在\(\Leftrightarrow {{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})\)

4.平面曲線的切線和法線

切線方程 : \(y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})\)

法線方程：\(y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}})\ne 0\)

5.四則運演算法則

設函式\(u=u(x)，v=v(x)\)

(1) \((u\pm v{)}'={u}'\pm {v}'\) \(d(u\pm v)=du\pm dv\)

(2)\((uv{)}'=u{v}'+v{u}'\) \(d(uv)=udv+vdu\)

(3) \((\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v\ne 0)\) \(d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}\)

6.基本導數與微分表

(1) \(y=c\)（常數） \({y}'=0\) \(dy=0\)

(2) \(y={{x}^{\alpha }}\)($\alpha $為實數) \({y}'=\alpha {{x}^{\alpha -1}}\) \(dy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx\)

(3) \(y={{a}^{x}}\) \({y}'={{a}^{x}}\ln a\) \(dy={{a}^{x}}\ln adx\)
特例: \(({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}\) \(d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx\)

(4) \(y={{\log }_{a}}x\) \({y}'=\frac{1}{x\ln a}\)

\(dy=\frac{1}{x\ln a}dx\)
特例:\(y=\ln x\) \((\ln x{)}'=\frac{1}{x}\) \(d(\ln x)=\frac{1}{x}dx\)

(5) \(y=\sin x\)

\({y}'=\cos x\) \(d(\sin x)=\cos xdx\)

(6) \(y=\cos x\)

\({y}'=-\sin x\) \(d(\cos x)=-\sin xdx\)

(7) \(y=\tan x\)

\({y}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x\) \(d(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx\)

(8) \(y=\cot x\) \({y}'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x\) \(d(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdx\)

(9) \(y=\sec x\) \({y}'=\sec x\tan x\)

\(d(\sec x)=\sec x\tan xdx\)
(10) \(y=\csc x\) \({y}'=-\csc x\cot x\)

\(d(\csc x)=-\csc x\cot xdx\)
(11) \(y=\arcsin x\)

\({y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\)

\(d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx\)
(12) \(y=\arccos x\)

\({y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\) \(d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx\)

(13) \(y=\arctan x\)

\({y}'=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\) \(d(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx\)

(14) \(y=\operatorname{arc}\cot x\)

\({y}'=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\)

\(d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx\)
(15) \(y=shx\)

\({y}'=chx\) \(d(shx)=chxdx\)

(16) \(y=chx\)

\({y}'=shx\) \(d(chx)=shxdx\)

7.複合函式，反函式，隱函式以及引數方程所確定的函式的微分法

(1) 反函式的運演算法則: 設\(y=f(x)\)在點\(x\)的某鄰域內單調連續，在點\(x\)處可導且\({f}'(x)\ne 0\)，則其反函式在點\(x\)所對應的\(y\)處可導，並且有\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)

(2) 複合函式的運演算法則:若\(\mu =\varphi (x)\)在點\(x\)可導,而\(y=f(\mu )\)在對應點$\mu \((\)\mu =\varphi (x)\()可導,則複合函式\)y=f(\varphi (x))\(在點\)x\(可導,且\){y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)$

(3) 隱函式導數\(\frac{dy}{dx}\)的求法一般有三種方法：

1)方程兩邊對\(x\)求導，要記住\(y\)是\(x\)的函式，則\(y\)的函式是\(x\)的複合函式.例如\(\frac{1}{y}\)，\({{y}^{2}}\)，\(ln y\)，\({{{e}}^{y}}\)等均是\(x\)的複合函式.
對\(x\)求導應按複合函式連鎖法則做.

2)公式法.由\(F(x,y)=0\)知 \(\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)}\),其中，\({{{F}'}_{x}}(x,y)\)，
\({{{F}'}_{y}}(x,y)\)分別表示\(F(x,y)\)對\(x\)和\(y\)的偏導數

3)利用微分形式不變性

8.常用高階導數公式

（1）\(({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}\)

（2）\((\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})\)

（3）\((\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})\)

（4）\(({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}\)

（5）\((\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}\)

（6）萊布尼茲公式：若\(u(x)\,,v(x)\)均\(n\)階可導，則
\({{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}\)，其中\({{u}^{({0})}}=u\)，\({{v}^{({0})}}=v\)

9.微分中值定理，泰勒公式

Th1:(費馬定理)

若函式\(f(x)\)滿足條件：

(1)函式\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)的某鄰域內有定義，並且在此鄰域內恆有
\(f(x)\le f({{x}_{0}})\)或\(f(x)\ge f({{x}_{0}})\),

(2) \(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)處可導,則有 \({f}'({{x}_{0}})=0\)

Th2:(羅爾定理)

設函式\(f(x)\)滿足條件：

(1)在閉區間\([a,b]\)上連續；

(2)在\((a,b)\)內可導；

(3)\(f(a)=f(b)\)；

則在\((a,b)\)內一存在個$\xi $，使 \({f}'(\xi )=0\)

Th3: (拉格朗日中值定理)

設函式\(f(x)\)滿足條件：

(1)在\([a,b]\)上連續；

(2)在\((a,b)\)內可導；

則在\((a,b)\)內一存在個$\xi $，使 \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )\)

Th4: (柯西中值定理)

設函式\(f(x)\)，\(g(x)\)滿足條件：
(1) 在\([a,b]\)上連續；

(2) 在\((a,b)\)內可導且\({f}'(x)\)，\({g}'(x)\)均存在，且\({g}'(x)\ne 0\)

則在\((a,b)\)記憶體在一個$\xi $，使 \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}\)

10.洛必達法則

法則 Ⅰ (\(\frac{0}{0}\)型)

設函式\(f\left( x \right),g\left( x \right)\)

滿足條件：

\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0\);

\(f\left( x \right),g\left( x \right)\)在\({{x}_{0}}\)的鄰域內可導，(在\({{x}_{0}}\)處可除外)且\({g}'\left( x \right)\ne 0\);

\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}\)存在(或$\infty $)。

則:
\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}\)。
法則\({{I}'}\) (\(\frac{0}{0}\)型)

設函式\(f\left( x \right),g\left( x \right)\)

滿足條件：

\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left(x \right)=0,\underset{x \to \infty}{\mathop{\lim}}\,g\left(x \right)=0\);

存在一個\(X>0\),當\(\left| x \right|>X\)時,\(f\left( x \right),g\left( x \right)\)可導,且\({g}'\left( x \right)\ne 0\);\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,\frac{{f}'\left(x \right)}{{g}'\left(x \right)}\)存在(或$\infty $)。

則:
\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}\)

法則 Ⅱ(\(\frac{\infty }{\infty }\)型)

設函式\(f\left( x \right),g\left( x \right)\)滿足條件：
\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty\);

\(f\left( x \right),g\left( x \right)\)在\({{x}_{0}}\) 的鄰域內可導(在\({{x}_{0}}\)處可除外)且\({g}'\left( x \right)\ne 0\);\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}\)存在(或\(\infty\))。

則

\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}.\)

同理法則\({I{I}'}\)(\(\frac{\infty }{\infty }\)型)仿法則\({{I}'}\)可寫出。

11.泰勒公式

設函式\(f(x)\)在點\({{x}_{0}}\)處的某鄰域內具有\(n+1\)階導數，則對該鄰域內異於\({{x}_{0}}\)的任意點\(x\)，在\({{x}_{0}}\)與\(x\)之間至少存在
一個\(\xi\)，使得：

\(f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}''({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots\)

\(+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)\)

其中 \({{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}\)稱為\(f(x)\)在點\({{x}_{0}}\)處的\(n\)階泰勒餘項。

令\({{x}_{0}}=0\)，則\(n\)階泰勒公式
\(f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x)\)……(1)

其中 \({{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}\)，$\xi \(在 0 與\)x$之間.(1)式稱為麥克勞林公式

常用五種函式在\({{x}_{0}}=0\)處的泰勒公式

(1) \({{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi }}\)

或 \(=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})\)

(2) \(\sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )\)

或 \(=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})\)

(3) \(\cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )\)

或 \(=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})\)

(4) \(\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi )}^{n+1}}}\)

或 \(=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})\)

(5) \({{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}\)
\(+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi )}^{m-n-1}}\)

或 \({{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots\) \(+\frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})\)

12.函式單調性的判斷

Th1:

設函式\(f(x)\)在\((a,b)\)區間內可導，如果對\(\forall x\in (a,b)\)，都有\(f\,'(x)>0\)（或\(f\,'(x)<0\)），則函式\(f(x)\)在\((a,b)\)內是單調增加的（或單調減少）

Th2:

（取極值的必要條件）設函式\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)處可導，且在\({{x}_{0}}\)處取極值，則\(f\,'({{x}_{0}})=0\)。

Th3:

（取極值的第一充分條件）設函式\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)的某一鄰域內可微，且\(f\,'({{x}_{0}})=0\)（或\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)處連續，但\(f\,'({{x}_{0}})\)不存在。）

(1)若當\(x\)經過\({{x}_{0}}\)時，\(f\,'(x)\)由“+”變“-”，則\(f({{x}_{0}})\)為極大值；

(2)若當\(x\)經過\({{x}_{0}}\)時，\(f\,'(x)\)由“-”變“+”，則\(f({{x}_{0}})\)為極小值；

(3)若\(f\,'(x)\)經過\(x={{x}_{0}}\)的兩側不變號，則\(f({{x}_{0}})\)不是極值。

Th4:

(取極值的第二充分條件)設\(f(x)\)在點\({{x}_{0}}\)處有\(f''(x)\ne 0\)，且\(f\,'({{x}_{0}})=0\)，則 當\(f'\,'({{x}_{0}})<0\)時，\(f({{x}_{0}})\)為極大值；
當\(f'\,'({{x}_{0}})>0\)時，\(f({{x}_{0}})\)為極小值。
注：如果\(f'\,'({{x}_{0}})<0\)，此方法失效。

13.漸近線的求法

(1)水平漸近線 若\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b\)，或\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b\)，則

\(y=b\)稱為函式\(y=f(x)\)的水平漸近線。

(2)鉛直漸近線 若$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }},f(x)=\infty \(，或\)\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }},f(x)=\infty $，則

\(x={{x}_{0}}\)稱為\(y=f(x)\)的鉛直漸近線。

(3)斜漸近線 若\(a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]\)，則
\(y=ax+b\)稱為\(y=f(x)\)的斜漸近線。

14.函式凹凸性的判斷

Th1: (凹凸性的判別定理）若在 I 上\(f''(x)<0\)（或\(f''(x)>0\)），則\(f(x)\)在 I 上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐點的判別定理 1)若在\({{x}_{0}}\)處\(f''(x)=0\)，（或\(f''(x)\)不存在），當\(x\)變動經過\({{x}_{0}}\)時，\(f''(x)\)變號，則\(({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))\)為拐點。

Th3: (拐點的判別定理 2)設\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)點的某鄰域內有三階導數，且\(f''(x)=0\)，\(f'''(x)\ne 0\)，則\(({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))\)為拐點。

15.弧微分

\(dS=\sqrt{1+y{{'}^{2}}}dx\)

16.曲率

曲線\(y=f(x)\)在點\((x,y)\)處的曲率\(k=\frac{\left| y'' \right|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}\)。
對於引數方程\(\left\{ \begin{align} & x=\varphi (t) \\ & y=\psi (t) \\ \end{align} \right.,\)\(k=\frac{\left| \varphi '(t)\psi ''(t)-\varphi ''(t)\psi '(t) \right|}{{{[\varphi {{'}^{2}}(t)+\psi {{'}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}\)。

17.曲率半徑

曲線在點\(M\)處的曲率\(k(k\ne 0)\)與曲線在點\(M\)處的曲率半徑$\rho \(有如下關係：\)\rho =\frac{1}{k}$。