進出棧方案數問題

讓n個數字依次進棧，求不同的出棧序列的種類個數。

首先可以對問題進行一個轉化，脫去數字本身的特性，單純將出棧序列的序列看成是由進棧和出棧兩種操作來構成的序列，其中我們可以令1代表入棧，0代表出棧。

而當出棧序列是非法的時候，就是在說棧為空時，仍然進行出棧操作，換成01串進行理解，也就是說，在整個01串中，存在某一個位置，且這個位置前面的操作0的個數大於1的個數，即說明這是非法的。

那麼，我們要求出所有可行的方案，我們可以換一個角度。

合法方案數 = 總方案數 - 非法方案數

總方案數 = 給你2n個位置，先填入n個1，其他空餘位置補上0 = \(C_{2n}^{n}\)

在計算非法方案數，我們可以稍微做一下轉換。

（注意這裡都是非法的，無論怎麼轉換的話）假設定在某個位置，這個位置前有p個1，p+1個0, 那麼在這個位置後有n-p個1，n-（p+1）個0，在這裡，我們可以稍微做一個轉換，在這個位置後有n-p個"0"，n-（p+1）個"1"，所以此時2n個位置共有n+1個"0"，n-1個"1"。

所以非法的方案數為\(C_{2n}^{n-1}\)

所以合法的方案數 = \(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)