簡介

在許多情況下，我們都要維護一個數組的字首和 \(s[i]=a[1]+a[2]+\cdots+a[i]\) ，但如果我們修改了其中一個 \(a[i]\) ，那麼 \(s[i],s[i+1],\cdots,s[n]\) 都會發生變化。所以每次修改後我們都要對字首和陣列進行維護，在最壞的情況下複雜度為 \(O(n)\) 。而樹狀陣列能很好的解決這一問題，它的修改與求和操作複雜度都是 \(O(\log n)\)

原理

我們設原陣列為 \(a\) ，樹狀陣列為 \(c\) ，對於一個長度為 \(8\) 的原陣列，下面這張圖（from oi-wiki）展示了樹狀陣列的原理：

• \(c[1]=a[1]\)
• \(c[2]=a[1]+a[2]\)
• \(c[3]=a[3]\)
• \(c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]\)
• \(c[5]=a[5]\)
• \(c[6]=a[5]+a[6]\)
• \(c[7]=a[7]\)
• \(c[8]=a[1]+a[2]+\cdots +a[8]\)

我們用 \(f(i)\) 表示 \(c[i]\) 儲存了多少個連續的陣列 \(a\) 中的元素，即:

為了求出 \(f(i)\) ，我們列出一張表並觀察規律：

通過觀察，可以得出 \(f(i)\) 的值就是 \(i\) 的二進位制表示中從最低位到高位出現的第一個 \(1\) 和它之前所有的 \(0\) 組成的二進位制數的值，換一種說法，如果 \(i\) 的二進位制表示中從最低位到高位有 \(k\) 個連續的 \(0\) ，第 \(k+1\) 位是 \(1\)，那麼 \(f(i)=2^k\) ，在樹狀陣列中， \(f\) 有一個專門的名稱 —— \(lowbit\)

那麼如何求出 \(lowbit(i)\) 呢？設 \(i\) 的二進位制表示從最低位到高位有 \(k\)

int lowbit(int x)
{
    return x & (-x);
}

接下來，我們考慮，如果 \(a[i]\) 的值改變了，如何更新 \(c\) ，我們可以發現， 當 \(i\) 的二進位制表示從最低位到高位有 \(k\) 個連續的 \(0\) ，第 \(k+1\) 位是 \(1\) 時， \(i+lowbit(i)\) 會使第 \(k+1\) 位變成 \(0\) 且前 \(k\) 位依然為 \(0\) ，所以 \(lowbit(i+lowbit(i))\) 一定大於 \(lowbit(i)\) ，那麼 \(c[i+lowbit(i)]\) 一定包含了 \(a[i]\) 的值，需要更新

void update(int x, int k)
{
    while(x <= n) {	
        c[x] += k;
        x += lowbit(x);
    }
}

最後考慮如何求和，根據 \(c\) 的定義可知， \(sum[i]=c[i]+c[i-lowbit[i]]+\cdots+c[1]\) ，求和的方法就很顯然了

long long get_sum(int x)
{
    long long res = 0;
    while(x >= 1) {
        res += c[x];
	x -= lowbit(x);
    }
    return res;
}

一個最基本的樹狀陣列模板就實現了

變式

上述樹狀陣列模板是最基本的字首和模板，支援單點更新（更新原陣列某個元素的值），區間查詢（查詢原陣列某個區間的和

LOJ 樹狀陣列模板1

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int MAX_N = 1000000 + 5;
int n, q;
ll c[MAX_N];

int lowbit(int x)
{
    return x & (-x);
}

void update(int x, int k)
{
    while(x <= n) {
        c[x] += k;
        x += lowbit(x);
    }
}

ll get_sum(int x)
{
    ll res = 0;
    while(x >= 1) {
        res += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int a;
        scanf("%d", &a);
        update(i, a);
    }
    for(int i = 1; i <= q; i++) {
        int opt, x, y;
        scanf("%d%d%d", &opt, &x, &y);
        if(opt == 1)
            update(x, y);
        else
            printf("%lld\n", get_sum(y) - get_sum(x - 1));
    }
    return 0;
}

在此基礎上稍加變通，我們就可以讓樹狀陣列實現區間更新（對原陣列某個區間的所有元素都加上一個值）\單點查詢（查詢原陣列某元素的值）和區間更新\區間查詢

區間更新\單點查詢

考慮如何將求字首和的問題轉化為求某個元素的值的問題，可以發現，差分陣列的字首和就是某個元素的值，且在進行區間更新時，只需要修改區間兩端的差分陣列的值，所以我們用樹狀陣列維護原陣列的差分陣列就能實現區間更新\單點查詢的功能了

LOJ 樹狀陣列模板2

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int MAX_N = 1000000 + 5;
int a[MAX_N];
ll c[MAX_N];
int n, q;

int lowbit(int x)
{
    return x & (-x);
}

void update(int x, int k)
{
    while(x <= n) {
        c[x] += k;
        x += lowbit(x);
    }
}

ll get_sum(int x)
{
    ll res = 0;
    while(x >= 1) {
        res += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        update(i, a[i] - a[i - 1]);
    }
    for(int i = 1; i <= q; i++) {
        int opt, x, y, z;
        scanf("%d", &opt);
        if(opt == 1) {
            scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
            update(x, z);
            update(y + 1, -z);
        }else {
            scanf("%d", &x);
            printf("%lld\n", get_sum(x));
        }
    }
    return 0;
}

區間更新\區間查詢

我們仍然採用差分的思路：

\(sum[i]=a[i]+a[i-1]+\cdots+a[1]=(d[1]+d[2]+\cdots+d[i])+(d[1]+\cdots+d[i-1])+\cdots+d[1]\)

進一步分解：

\(sum[i]=i(d[1]+d[2]+\cdots+d[i])-(1-1)d[1]-(2-1)d[2]-\cdots-(i-1)d[i]\)

所以只要用兩個樹狀陣列，一個維護 \(d[i]\) ，另一個維護 \((i-1)d[i]\) 即可

LOJ 樹狀陣列模板3

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int MAX_N = 1000000 + 5;
int a[MAX_N];
ll sum1[MAX_N], sum2[MAX_N];
int n, q;

int lowbit(int x)
{
    return x & (-x);
}

void update(int x, int k)
{
    int t = x;
    while(t <= n) {
        sum1[t] += k;
        sum2[t] += 1ll * (x - 1) * k;
        t += lowbit(t);
    }
}

ll get_sum(int x)
{
    ll res = 0;
    int t = x;
    while(t >= 1) {
        res = res + x * sum1[t] - sum2[t];
        t -= lowbit(t);
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        update(i, a[i] - a[i - 1]);
    }
    for(int i = 1; i <= q; i++) {
        int opt, l, r, x;
        scanf("%d", &opt);
        if(opt == 1) {
            scanf("%d%d%d", &l, &r, &x);
            update(l, x);
            update(r + 1, -x);
        }else {
            scanf("%d%d", &l, &r);
            printf("%lld\n", get_sum(r) - get_sum(l - 1));
        }
    }
    return 0;
}