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• \(\texttt{2020.10.21}\) 刪除了不需要的 \(n=1\) 的特判，並在符號與字母之間添加了空格。

Content

給定一個數 \(n\)，試找到一對數 \(a,b(1\leqslant a,b\leqslant n)\)，使得 \(a~or~b+a~xor~b\) 的值最大。

資料範圍：\(2\leqslant n\leqslant 10^{18}\)。

Solution

和月賽 T1 一樣是個找規律題。

我們先對 \(n=100\) 以內的答案通過打表得出來，先弄個打表程式：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n, ans;

int main() {
	for(n = 1; n <= 100; ++n) {
		ans = 0;
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			for(int j = 1; j <= n; ++j)
				ans = max(ans, (i | j) + (i ^ j));
		printf("When n = %d, ans = %d.\n", n, ans);
	}
	return 0;
}

 

以下是得出來的結果，為了不佔太大版面，相同的答案就直接省略了。

When n = 1, ans = 1.
When n = 2, ans = 6.
When n = 3, ans = 6.
When n = 4, ans = 14.
...
When n = 7, ans = 14.
When n = 8, ans = 30.
...
When n = 15, ans = 30.
When n = 16, ans = 62.
...
When n = 31, ans = 62.
When n = 32, ans = 126.
...
When n = 63, ans = 126.
When n = 64, ans = 254.
...
When n = 100, ans = 254.
 

通過每一個 \(n\) 對應的答案我們就可以找到規律：

\((2=2^1)\leqslant n\leqslant (3=2^2-1)\) 的時候，答案是 \(6=2^3-2\)。

\((4=2^2)\leqslant n\leqslant (7=2^3-1)\) 的時候，答案是 \(14=2^4-2\)。

\((8=2^3)\leqslant n\leqslant (15=2^4-1)\) 的時候，答案是 \(30=2^5-2\)。

\((16=2^4)\leqslant n\leqslant (31=2^5-1)\) 的時候，答案是 \(62=2^6-2\)。

\((32=2^5)\leqslant n\leqslant (63=2^6-1)\)

由此我們發現：當有一個 \(i\) 滿足 \(2^i\leqslant n\leqslant 2^{i+1}\) 的時候，答案就是 \(2^{i+2}-2\)。所以，我們找到最小的 \(i\) 使得 \(n<2^i\)，然後此時答案就是 \(2^{i+1}-2\)。注意，由於這裡的資料範圍是從 \(2\) 開始，所以不需要特判 \(n=1\) 的情況。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

long long n;

int main() {
	scanf("%lld", &n);
	for(int i = 1; ; ++i)
		if(n < (long long)pow(2, i)) {
			printf("%lld", (long long)pow(2, i + 1) - 2);
			break;
		}
	return 0;
}