bit operations

• /2, *2

• odd or even

• 實現mod

  當計算\(a \mod b\) 且 b是\(2^n\)時，可以直接使用\(a \& (b-1)\)來計算\(a \mod b\)​。

  原理為：$a \mod b \(是\)a/b$​的餘數。

  因為\(b=2^n\),\(a/2^n\)又可以轉換為a=a>>n;

  所以$ a \mod b $​​ = a - (a//b)*b = \(a - (a//2^n)*2^n\)​

  所以\(a \mod b\) = a - (a>>n)<<n

  又因為right shift是截斷的，所以(a>>n)<<n

  的結果是將a的低n位置0,記為\(a'\)

  所以\(a - a' = a + (-a') = a + ( \sim a'+1)\)​

  • 關於\(a - a'\) = 低n位的推導

綜上，可以得到結論：這個低n位就是mod運算的結果（餘數）

所以，\(b-1=2^n-1\)，二進位制表示為n-1位全1

所以，\(a\&(b-1)\)就是取a的低n位，就是餘數,即mod運算結果

• 求商

  經過上面的推導，發現計算\(a \mod b\)當\(b=2^n\)時，a的低n位是餘數，高m-n位是商。高m-n位是商的原因是：商應為\(a//b = a//2^n\) = a右移n位後的值，當a是正數時，符號位擴充套件一直是0，所以商是a的高m-n位。所以在這種情況下，求商的方法就是取a的高m-n位，之前取a的低n位操作是a&(b-1)

  ，那麼現在就是a&~(b-1)。這個操作可以在ispc的tutorial中看到：https://ispc.github.io/perfguide.html