[做題記錄] Luogu P4607 [SDOI2018]反迴文串 題解
題意
「迴文串什麼的最討厭了……」
小 Q 討厭任何形式的迴文串：
- 如果一個字串從左往右讀和從右往左讀是一樣的，那麼小 Q 討厭它；例如
aa和aba。- 對於一個字串來說，若將某個字首子串移除並拼接到字串的尾部，能得到一個小 Q 討厭的字串，那麼小 Q 也會討厭原來的這個字串；例如
aab和baa。現在問題來了，如果任意字串只可以由 \(k\) 種已知的字元組成 (也就是說字符集的大小為 \(k\) )，那麼長度為 \(n\) 的所有字串裡，有多少字串是小 Q 討厭的？
答案可能很大，你只需要給出答案對 \(p\) 取模後的值。
\(T \leq 10, n, k\leq 10^{18}\)
, \(p\) 不一定是素數。
題解
這是人做的？？？？
考慮一個計算答案的方式是列舉迴文串， 然後這個迴文串的所有迴圈移位進行一次貢獻。
但是這樣顯然會算重， 因為可能出現迴文串之間的迴圈同構， 也有可能串在迴圈移位的時候會得到自身。
考慮對於每一個迴文串， 求一個最小的 \(l\) 使得這個串在迴圈移位 \(l\) 次以後會再次變成一個迴文串， 那麼 \(\sum l\) 就是答案。
考慮 \(l\) 的取值在不同字串下的情況。
一個經典的想法是， 對於最小迴圈節 \(T\) ， 如果 \(T\) 是偶數， 那麼 \(l = \frac{T}{2}\) ， 否則 \(l = T\)。
那麼現在我們考慮對於最小迴圈節為某個數的字串計數。
考慮設 \(h(i) = 長度為i的字串的l = i \times \frac{1 + [i是奇數]}{2}\) ， \(f(i)\) 表示最小迴圈節為 \(i\) 的字串的個數。
那麼答案就是 ：
\[\sum_{d|n}f(d) h(d) \]又因為
\[\sum_{d|n}f(d)=k^{\lceil\frac n2\rceil}=g(n) \]所以
\[f(n) = \sum_{d|n}g(d) \mu(\frac{n}{d}) \\ ans = \sum_{i | n}g(i)\sum_{d | \frac{n}{i}}\mu(d)h(id) \]然後這裡思路就又卡住了。
考慮把 \(h(id)\) 拆開來看， 變成 \(d \times h(i)\) 。
觀察 \(h(id) \neq d \times h(i)\) 的時候當且僅當 \(d\) 為偶數， 且 \(i\) 為奇數， 注意此時 \(\frac{n}{i}\) 也是偶數。
不妨考慮 \(i\) 為奇數， \(\frac{n}{i}\) 是偶數這個條件下， 下面式子的取值：
\[\sum_{d|\frac{n}{i}}\mu(d)h(id) \]由於 \(\frac{n}{i}\) 是偶數， 所以可以對於 \(d\) 是否是偶數分別討論， 發現此時 \(\mu\) 相反， \(h\) 相等， 恰好是 \(0\) 。
那麼可以變換原來的式子 ：
\[ans = \sum_{i|n}g(i)f(i)\sum_{d|\frac{n}{i}}d\mu(d) \]注意雖然前面說明了那個情況下沒有貢獻， 但是列舉的時候要注意 \(i\) 是奇數， \(\frac{n}{i}\) 是偶數的時候， 要跳過去。
然後考慮後面那個東西， 其實就是把 \(\frac{n}{i}\) 質因數分解以後， 求 \(\prod_{i = 1}^k (1 - p_i)\) ， 上 \(PR\) 即可。