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模組導圖

知識剖析

平面幾何中的向量方法

1 由於向量的線性運算和數量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質，如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數量積表示出來，因此平面幾何中的許多問題都可用向量運算的方法加以解決.

2 用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”
(1) 建立平面幾何與向量的聯絡，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；
(2) 通過向量運算，研究幾何元素之間的關係，如距離、夾角等問題；
(3) 把運算結果“翻譯”成幾何關係.
\({\color{Red}{Eg}}\) 點\(A\)、\(B\)

向量在物理中的應用

1 速度、力是向量，都可以轉化為向量問題；
2 力的合成與分解符合平行四邊形法則.

經典例題

【題型一】平面向量在幾何中的應用

【典題1】證明 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

【證明】 設四邊形\(ABCD\)的對角線\(AC\)、\(BD\)交於點\(O\)，且\(AO=OC\) ,\(BO=OD \)
\(\because \overrightarrow{A B}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{D B}, \overrightarrow{D C}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{D B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\)

【典題2】已知平行四邊形\(ABCD\)的對角線為\(AC、BD\)，求證 \(AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2)\)(即對角線的平方和等於鄰邊平方和的倍).

【證明】由\(|\overrightarrow{A C}|^{2}=\overrightarrow{A C}^{2}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})^{2}\)\(=|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{A D}|^{2}+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}\) ①
\(|\overrightarrow{D B}|^{2}=\overrightarrow{D B}^{2}=(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D})^{2}\)\(=|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{A D}|^{2}-2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}\) ②
兩式相加得\(|\overrightarrow{A C}|^{2}+|\overrightarrow{D B}|^{2}=2\left(|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{A D}|^{2}\right)\)
即\(A C^{2}+B D^{2}=2\left(A B^{2}+A D^{2}\right)\)
【點撥】利用\(|\overrightarrow{A B}|^{2}=|A B|^{2}\)可證明線段長度關係.

【典題3】 用向量方法證明 三角形三條高線交於一點.

【證明】 \({\color{Red}{(分析 設H是高線BE、CF的交點，再證明AH⊥BC，則三條高線就交於一點.)} }\)
設\(H\)是高線\(BE\)、\(CF\)的交點 ,
則有\(\overrightarrow{B H}=\overrightarrow{A H}-\overrightarrow{A B}\)，\(\overrightarrow{C H}=\overrightarrow{A H}-\overrightarrow{A C}\)，\(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}\)
\(\because \overrightarrow{B H} \perp \overrightarrow{A C}\)，\(\overrightarrow{C H} \perp \overrightarrow{A B}\)
\(\therefore(\overrightarrow{A H}-\overrightarrow{A B}) \cdot \overrightarrow{A C}=(\overrightarrow{A H}-\overrightarrow{A C}) \cdot \overrightarrow{A B}=0\)
化簡得\(\overrightarrow{A H} \cdot(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=0\)
\(\therefore \overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B C}=0\) 則\(AH⊥BC \)
\({\color{Red}{(向量中證明AB⊥CD，只需要證明\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=0)} }\)
所以三角形三條高線交於一點.
【點撥】本題的思路是:設\(H\)是高線\(BE\)、\(CF\)的交點，再證明\(AH⊥BC\)，則三條高線就交於一點.

【典題4】證明三角形三條中線交於一點.
【證明】\({\color{Red}{(分析 設BE、AF交於O，證明C、O、D三點共線便可)} }\)
\(AF\)、\(CD\)、\(BE\)是三角形的三條中線

設\(BE\)、\(AF\)交於點\(O\)，
\(∵\)點\(D\)是中點，\(\therefore \overrightarrow{C D}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B})\)
連線\(EF\)，
易證明\(\Delta A O B \sim \Delta F O E\)，且相似比是\(2: 1\)，
\(\therefore B O=\dfrac{2}{3} B E\),
\(\therefore \overrightarrow{C O}=\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B O}=\overrightarrow{C B}+\dfrac{2}{3} \overrightarrow{B E}\)\(=\overrightarrow{C B}+\dfrac{2}{3}(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A E})\)
\(=\overrightarrow{C B}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\right)\)\(=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B})\)
\(\therefore \overrightarrow{C O}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{C D}\)， 即\(C、O、D\)三點共線，
\({\color{Red}{(向量中證明A、B、C三點共線，只需證明\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{A C})} }\)
\(∴AF、CD、BE\)交於一點，
即三角形三條中線交於一點.

【題型二】平面向量在物理中的應用

【典題1】 如圖，已知河水自西向東流速為\(\left|v_{0}\right|=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)，設某人在靜水中游泳的速度為\(v_1\)，在流水中實際速度為\(v_2\)．
(1)若此人朝正南方向游去，且\(\left|v_{1}\right|=\sqrt{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)，求他實際前進方向與水流方向的夾角\(α\)和\(v_2\)的大小；
(2)若此人實際前進方向與水流垂直，且\(\left|v_{2}\right|=\sqrt{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)，求他游泳的方向與水流方向的夾角\(β\)和\(v_1\)的大小．

【解析】如圖，設\(\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{v_{0}}\)，
\(\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{v_{1}}\)，\(\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{v_{2}}\)

則由題意知\(\overrightarrow{v_{2}}=\overrightarrow{v_{0}}+\overrightarrow{v_{1}}\)，
\(|\overrightarrow{O A}|=1\)
根據向量加法的平行四邊形法則得四邊形OACB為平行四邊形．
(1)由此人朝正南方向游去得四邊形\(OACB\)為矩形，且\(|\overrightarrow{O B}|=A C=\sqrt{3}\)，如下圖所示，

則在直角\(△OAC\)中，\(\left|\overrightarrow{v_{2}}\right|=O C=\sqrt{O A^{2}+A C^{2}}=2\)，
\(\tan \angle A O C=\dfrac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}\)，
又\(\alpha=\angle A O C \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)，所以\(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\)；
(2)由題意知\(\alpha=\angle O C B=\dfrac{\pi}{2}\)，且\(\left|\overrightarrow{v_{2}}\right|=|O C|=\sqrt{3}\)，\(BC=1\)，如下圖所示，

則在直角\(△OBC\)中，\(\left|\overrightarrow{v_{1}}\right|=O B=\sqrt{O C^{2}+B C^{2}}=2\)，
\(\tan \angle B O C=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
又\(\angle A O C \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)，所以\(\angle B O C=\dfrac{\pi}{6}\)，
則\(\beta=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2 \pi}{3}\)，
答 (1)他實際前進方向與水流方向的夾角\(α\)為\(\dfrac{\pi}{3}\)，\(v_2\)的大小為\(2m/s\)；
(2)他游泳的方向與水流方向的夾角\(β\)為\(\dfrac{2\pi}{3}\)，\(v_1\)的大小為\(2m/s\)．
【點撥】注意平行四邊形法則的使用！

** 【典題2】** 在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包．假設行李包所受重力為\(G\)，作用在行李包上的兩個拉力分別為\(\overrightarrow{F_{1}}, \overrightarrow{F_{2}}\)，且\(\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|=\left|\overrightarrow{F_{2}}\right|\)，\(\overrightarrow{F_{1}}\)與\(\overrightarrow{F_{2}}\)的夾角為\(θ\)．給出以下結論
①\(θ\)越大越費力，\(θ\)越小越省力；
②\(θ\)的範圍為\([0 ,π]\)；
③當\(\theta=\dfrac{\pi}{2}\)時，\(\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|=\mid \vec{G}|\)；
④當\(\theta=\dfrac{2 \pi}{3}\)時，\(\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|=|\vec{G}|\)．
其中正確結論的序號是　 　．

【解析】 對於①，由\(|\vec{G}|=\left|\overrightarrow{F_{1}}+\overrightarrow{F_{2}}\right|\)為定值，
所以\({G}^{2}=\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{F_{2}}\right|^{2}+2\left|\overrightarrow{F_{1}}\right| \times\left|\overrightarrow{F_{2}}\right| \times \cos \theta\)\(=2\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|^{2}(1+\cos \theta) .\)，
解得\(\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|^{2}=\dfrac{|\vec{G}|^{2}}{2(1+\cos \theta)}\)；
由題意知\(θ∈(0 ,π)\)時，\(y=cosθ\)單調遞減，所以\(\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|^{2}\)單調遞增，
即\(θ\)越大越費力，\(θ\)越小越省力；①正確．
對於②，由題意知，\(θ\)的取值範圍是\((0 ,π)\)，所以②錯誤．
對於③，當\(\theta=\dfrac{\pi}{2}\)時，\(\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|^{2}=\dfrac{\vec{G}^{2}}{2}\)，所以\(\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}|\vec{G}|\)，③錯誤．
對於④，當\(\theta=\dfrac{2 \pi}{3}\)時，\(\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|^{2}=|\vec{G}|^{2}\)，所以\(\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|=|\vec{G}|\)，④正確．
綜上知，正確結論的序號是①④．
故答案為 ①④．

【典題3】 如圖，重為\(10N\)的勻質球，半徑\(R\)為\(6cm\)，放在牆與均勻的\(AB\)木板之間，\(A\)端鎖定並能轉動，\(B\)端用水平繩索\(BC\)拉住，板長\(AB=20cm\)，與牆夾角為\(α\)，如果不計木板的重量，則\(α\)為何值時，繩子拉力最小？最小值是多少？

【解析】 如圖，設木板對球的支援力為\(\vec{N}\)，則\(\vec{N}=\dfrac{10}{\sin \alpha}\)，

設繩子的拉力為\(\vec{f}\)．又\(AC=20\cosα\)，\(A D=\dfrac{6}{\tan \dfrac{\alpha}{2}}\)，
由動力矩等於阻力矩得\(|\vec{f}| \times 20 \cos \alpha=|\vec{N}| \times \dfrac{6}{\tan \dfrac{\alpha}{2}}\)\(=\dfrac{60}{\sin \alpha \cdot \tan \dfrac{\alpha}{2}}\)
\(\therefore|\vec{f}|=\dfrac{60}{20 \cos \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \tan \dfrac{\alpha}{2}}\)\(=\dfrac{3}{\cos \alpha(1-\cos \alpha)} \geq \dfrac{3}{\left(\dfrac{\cos \alpha+1-\cos \alpha}{2}\right)^{2}}=\dfrac{3}{\dfrac{1}{4}}=12\)，
\(∴\)當且僅當\(\cos \alpha=1-\cos \alpha\)即\(\cos \alpha=\dfrac{1}{2}\)，
亦即\(α=60°\)時，\(|\vec{f}|\)有最小值\(12N\)．

鞏固練習

1(★★)一條漁船以\(6km/h\)的速度向垂直於對岸的方向行駛，同時河水的流速為\(2km/h\)，則這條漁船實際航行的速度大小為　 　．

2(★★) 如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處於平衡狀態，已知兩條繩上的拉力分別是\(F_1\) ,\(F_2\)，且\(F_1\) ,\(F_2\)與水平夾角均為\(45°\)，\(\left|\vec{F}_{1}\right|=\left|\vec{F}_{2}\right|=10 \sqrt{2} N\)，則物體的重力大小為　 　．

3(★★)用向量方法證明 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

4(★★) 證明勾股定理，在\(Rt∆ABC\)中，\(AC⊥BC\)，\(AC=b\)，\(BC=a\) ,\(AB=c\)，則\(c^2=a^2+b^2\).

5(★★) 已知一艘船以\(5km/h\)的速度向垂直於對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成\(30°\)角，求水流速度和船實際速度．

6(★★)一個物體受到同一平面內三個力\(F_1\) 、\(F_2\) 、\(F_3\)的作用，沿北偏東\(45°\)的方向移動了\(8m\)．已知\(|F_1 |=2N\)，方向為北偏東\(30°\)；\(|F_2 |=4N\)，方向為東偏北\(30°\)；\(|F_3 |=6N\)，方向為西偏北\(60°\)，求這三個力的合力\(F\)所做的功．

答案

1. \(2 \sqrt{10} \mathrm{~km} / \mathrm{h}\)
2. \(20\)
3. 證明略
4. 證明略
5. 船實際航行速度的大小為\(10km/h\)，水流速度\(5 \sqrt{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h}\)
6. \(24 \sqrt{6}\)