1、尤拉函式的定義是，φ(n)是1-n中與n互質的數的個數

對n分解質因數得p1^a1*p2^a2*...*pn^an，

則φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)*...*(1-1/pn);

對多個數求尤拉函式，可以結合線性篩法，對每個質數和被篩到的數，都根據已經被迴圈到的數的φ計算

 1 const int N = 100010;
 2 int primes[N], cnt;
 3 int phi[N];//全部尤拉函式
 4 bool not_prime[N];//是否為質數
 5 typedef long long LL;
 6 
 7 LL get_eulers(int n)//求1-n全部尤拉函式的和
 

 8 {
 9     phi[1] = 1;
10     for (int i = 2; i <= n; i++)
11     {
12         if (!not_prime[i])
13         {
14             primes[cnt++] = i;
15             phi[i] = i - 1;//質數的尤拉函式
16         }
17         for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
18         {
19             not_prime[primes[j] * i] = true
 
;
20             if (i%primes[j] == 0)
21             {
22                 phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j]; //primes[j] * i的最小質因子為primes[j]，且primes[j]是i的質因子
23                 break;
24             }
25             phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
26             //primes[j] * i的最小質因子為primes[j]，且primes[j]不是i的質因子(primes[j]-1)=primes[j]*(1-1/primes[j])
 

27         }
28 
29     }
30     LL res = 0;
31     res = accumulate(phi + 1, phi + n + 1, 0LL);
32     return res;
33 }

尤拉定理

若a與n互質，則有 (a^φ(n))%n=1;

2、快速冪

對a^k，可以預處理出，a^(2^0),a^(2^1)...,a^(2^n)，其中a^(2^(n+1))>k，a^(2^(n))≤k。其中a^(2^(i+1))=(a^(2^i))^2，O(logn)

則k=x0*(2^0)+x1*(2^1)+...+xn*(2^n)，其中xi為k的二進位制表示的第i位，取0或1

則a^k=a^(x0*(2^0))*a^(x1*(2^1))*...*a^(xn*(2^n))，O(logn)。

演算法結果取模則每步預處理也取模。

 1 int qmi(int a, int k, int p)//(a^k)%p
 2 {
 3     int res=1;
 4     while (k)
 5     {
 6         if (k & 1) res = (LL)(res*a) % p;//a初始為a^(2^0)=a
 7         k >> 1;
 8         a = (LL)a*a%p;
 9     }
10     return res;
11 }

同樣還有遞迴的快速冪演算法。