Luogu4436 [HNOI/AHOI2018]遊戲

一次小 G 和小 H 在玩尋寶遊戲，有 \(n\) 個房間排成一列，編號為 \(1,2,\cdots,n\) ，相鄰的房間之間都有一道門。其中一部分門上鎖（因此需要有對應的鑰匙才能開門），其餘的門都能直接開啟。現在小 G 告訴了小 H 每把鎖的鑰匙在哪個房間裡（每把鎖有且只有一把鑰匙與之對應），並作出 \(p\) 次指示：第 \(i\) 次讓小 H 從第 \(S_i\) 個房間出發到 \(T_i\) 個房間裡。但是小 G 有時會故意在指令中放入死路，而小 H 也不想浪費多餘的體力去嘗試，於是想事先調查清楚每次的指令是否會存在一條通路。

你是否能為小 H 作出解答呢？

\(1\le n,p\le 10^6\)，\(0\le m <n\)，\(1\le x,y,S_i,T_i<n\) 保證 \(x\) 不重複。

　　暴力

　　比較正確的方法：https://www.cnblogs.com/C202044zxy/p/15815703.html

　　但是，這題可以暴力地艹過去。

　　記每個點最遠走到的點 \((L_i, R_i)\)，然後每次暴力拓展，然後加個記憶化，據 Loj2397.「JOISC 2017 Day 3」幽深府邸 的官方題解說複雜度正確，為 \(\mathcal O(n\log n)\)。不會證明。

　　沒想到是個雙倍經驗題

Luogu4437 [HNOI/AHOI2018]排列

給定 \(n\) 個整數 \(a_1, a_2, \dots, a_n, 0 \le a_i \le n\)，以及 \(n\) 個整數 \(w_1, w_2, \dots, w_n\)。

稱 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 的 一個排列 \(a_{p[1]}, a_{p[2]}, \dots, a_{p[n]}\) 為 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 的一個合法排列，當且僅當該排列滿足：對於任意 的 \(k\) 和任意的 \(j\)，如果 \(j \le k\)，那麼 \(a_{p[j]}\) 不等於 \(p[k]\)。（換句話說就是：對於任意的 \(k\)

和任意的 \(j\)，如果 \(p[k]\) 等於 \(ap[j]\)，那麼 \(k<j\)。）定義這個合法排列的權值為 \(w_{p[1]} + 2w_{p[2]} + \dots + nw_{p[n]}\)。

你需要求出在所有合法排列中的最大權值。如果不存在合法排列，輸出 \(-1\)。

\(n \le 5\times 10^5\)

　　貪心

　　完了，基本貪心模型想了半天想不起來了，感覺最近要練習貪心技巧了。

　　題面過於鬼畜，看了半天。

　　為了方便思考，我們可以先 \(i \to p_i\) 連邊，\(1 \sim n\) 依次考慮選擇 \(p_i\)，那麼當且僅當 \(a_{p_i}\) 已經有入邊（或者為 \(0\)），這條邊才是合法的。

　　這個限制就是：

對於任意 \(k\)，\(a_{k}\) 一定比 \(k\) 先選（假設我們第一個選的數是 \(0\)）。

　　於是我們可以將序列的關係轉化成圖的形式，對於每個 \(i\)，有邊 \(a_i \to i\)，然後每選一個點，它的所有出邊就都可以選擇了，然後，如果整個圖存在一個環，那麼就不能選完，於是無解，最後這個圖是一棵樹的結構，選擇一個點，必須先選其父親。

我沒有任何問題地推到了這裡，於是直接敲了一個很假的貪心上去，得了 \(20\) 分，然後發現這個轉化後的問題是一個比較經典的問題，再推了半年，還是不太會，然後只會優化一下判 \(-1\) 的條件，得了 \(30\) 分。

要是我夢迴 \(\tt HNOI2018\)，我應該直接寄了。

　　不扯了，但是之後確實是一個經典問題。

　　我們可以對於整個點維護一個序列，表示選了這個點之後的選擇排列情況，然後每次選擇的時候，該點合併到父親所在的序列中，使得產生的貢獻最大。我們用 \((siz, tot)\) 表示一個序列的長度和權值和，考慮兩個序列，\((siz_1, tot_1)\)，\((siz_2, tot_2)\)，那麼 \(1\) 先於 \(2\) 選擇的條件是：

　　然後可以用並查集維護每個點當前所在的序列位置，使用堆進行貪心選擇了。

　　程式碼

Luogu4438 [HNOI/AHOI2018]道路

　　貢獻提前計算板子題，不寫了。