（幾萬年前的部落格了，剛從洛谷搬過來）

主要內容

差分約束系統 是一種特殊的 \(n\) 元一次不等式組 。

差分約束系統中的每個約束條件 \(x_i-x_j\le c_k\) 都可以變形成 \(x_i\le x_j+c_k\) 與 \(x_j\ge x_i-c_k\) ，這與單源最短路中的三角形不等式非常相似。因此，我們可以把每個變數 \(x_i\) 看做圖中的一個結點，對於每個約束條件連邊。

需要注意的是，有些題目看能會對解的上、下界進行約束，因此我們需要對這些條件處理（這裡只考慮對於這 \(n\) 個元素 只約束了上界 或 只約束了下界 ）：

• 只約束下界：有 \(0\) 號點向每一個點連一條長為 \(Lim_i\)

  的邊，表示第 \(i\) 號元素的 下界 為 \(Lim_i\) ，如圖所示建邊：

  題意	轉化	連邊
  \(x_a-x_b\ge c\)	\(x_a\ge x_b+c\)	add(b,a,c)
  \(x_a-x_b\le c\)	\(x_b\ge x_a-c\)	add(a,b,-c)
  \(x_a=x_b\)	\(x_a\ge x_b\) ， \(x_b\le x_a\)	add(a,b,0),add(b,a,0)

  之後對整張圖跑 最長路 。

• 只約束上界：有 \(0\) 號點向每一個點連一條長為 \(Lim_i\) 的邊，表示第 \(i\) 號元素的 上界 為 \(Lim_i\)

  ，如圖所示建邊：

  題意	轉化	連邊
  \(x_a-x_b\ge c\)	\(x_b\le x_a-c\)	add(a,b,-c)
  \(x_a-x_b\le c\)	\(x_a\le x_b+c\)	add(b,a,c)
  \(x_a=x_b\)	\(x_a\le x_b\) ， \(x_b\le x_a\)	add(a,b,0),add(b,a,0)

  之後對整張圖跑 最短路 。

設 \(dist[0]=0\) ，若存在負環 \(/\) 正環，則不等式無解，否則 \(x_i=dist[i]\) 是該差分約束系統的一組解 。

最壞情況下（存在負環 \(/\) 正環）複雜度為 \(O(nm)\)

注意：整個圖不一定是聯通的！

例題

• P1993 小 K 的農場 - 模板 \(-\) AC記錄

• P2474 [SCOI2008]天平

  P2474 solution

• P4926 [1007]倍殺測量者

  P4926 solution