Atcoder Educational DP Contest 選做
頹瘋了，來做點題恢復一下狀態。
刷水題了！！！
J Sushi
令 \(f_{a,b,c}\) 為 \(1\) 個壽司的盤子有 \(a\) 個，\(2\) 個壽司的盤子有 \(b\) 個，\(3\) 個壽司的盤子有 \(c\) 個的期望步數。
轉移就列舉第一次選中了哪一種壽司，乘個選擇的概率，加上個 \(\frac{n}{a+b+c}\) 即可。
有一說一我差點沒寫出來。
O Matching
令 \(f_S\) 為考慮了 \(1,2,\cdots,\text{popcount}(S)\) 內所有左部點，他們匹配的右部點集合為 \(S\)
還算得上有一點技巧性？
Q Flowers
令 \(f_i\) 為最後一個保留的位置是 \(i\) 的最大價值和，然後直接用樹狀陣列優化一下 dp。
W Walk
矩陣快速冪板子，直接把矩陣 \(k\) 次方然後每一個位置加起來即可。
T Permutation
以前學長講過，現在差點又不會了。
Bonus1：P4099 [HEOI2013]SAO
Bonus2：loj#575. 「LibreOJ NOI Round #2」不等關係
可以發現樹形圖拓撲序計數問題嚴格強於其，於是把 Bonus1 程式碼蒯過來就好了。（霧）
還是講一下做法：
令 \(f_{i,j}\) 為 dp 完字首 \(i\)，其中第 \(i\) 個位置在拓撲序位於 \(j\) 的方案數，那麼可以得到轉移方程：
\[f_{i,j}=\begin{cases}\sum_{k=1}^{j-1} f_{i-1,k} &<\\\sum_{k=j}^{i-1} f_{i-1,k}&>\end{cases} \]字首和優化即可做到 \(O(n^2)\)，AC。
不太會 Bonus2，看了下 loj 題解。
上面的 dp 狀態都是兩維的，不優秀。我們考慮忽略大於號，那麼相當於填入若干遞增序列，答案明顯是一個多重組合數：
\[\frac{n!}{\prod x_i!} \]然後考慮用容斥來將大於號納入考慮，有一個大於號沒有滿足則乘 \(-1\)
列舉最後一段遞增序列，那麼有：（令 \(cnt_i\) 為 \(i\) 這個字首的大於號數量）
\[f_i=\sum_{j=0}^{i-1}f_j\times(-1)^{cnt_i-cnt_j}\times\frac{1}{(i-j)!} \]這個東西是分治 FFT 的形式，令 \(F(x)=f_x\times(-1)^{cnt_x},G(x)=\frac{1}{x!}\)：
\[F(x)=(-1)^{cnt_i+cnt_{i-1}}\sum_{j=0}^{i-1}F(j)G(i-j) \]時間複雜度 \(O(n\log^2n)\)。
程式碼鴿了。
U Grouping
簡單狀壓 dp，複雜度 \(O(2^nn^2+3^n)\)。
V Subtree
首先有一個 \(O(n^2)\) 的 dp，直接把每個點作為根節點，然後設 \(f_{i}\) 表示 dp 完 \(i\) 的子樹，且 \(i\) 為黑色的方案數。
優化到 \(O(n)\) 直接換根 dp 即可。
由於模數不是質數，需要維護一個點所有兒子的字首積和字尾積，典中典了這屬於是。
W Intervals
首先將區間按照右端點排序，那麼可以設計一個 \(O(n^2)\) 的 dp：
令 \(f_{i,j}\) 為考慮了前 \(i\) 個位置，最近一個 \(0\) 在位置 \(j\) 的最大答案，有：
\[f_{i,j}=\begin{cases}f_{i-1,j}+\sum_{l_k\leqslant j\leqslant r_k=i}&j<i\\\max_{k<i} f_{i-1,k}&j=i\end{cases} \]第一維滾一下，第二維放線上段樹上即可做到 \(O(n\log n)\)。
X Tower
不會啊，自閉了。
首先總重量一定要小於等於承重能力的最大值，也就是總重量是 \(10^4\) 範圍，提示我們考慮 \(O(ns)\) 做法。
有一個簡單的 \(O(n^2s)\) 就是跑 \(n\) 遍從前往後的揹包，但是顯然過不了。
考慮安排一個合適的順序，然後跑一遍揹包。
我們考慮若 \(s_a-w_b>s_b-w_a\)，那麼 \(a\) 放在下面一定優於 \(b\)，於是我們按照 \(s+w\) 排序即可。
Y Grid 2
典中典，感覺在 CF 也見過。
容斥，我們令 \(f_i\) 為最後停留在第 \(i\) 個點的所有路徑容斥係數之和。
然後直接列舉上一個位置，中間的路徑組合數爆算即可。
Z Frog 3
斜率優化板子，在考場上我肯定會選擇用李超樹碾過去，不過鑑於是練習。就推一推斜率優化吧。
設跳到的最後一個位置為 \(i\)，有兩個位置 \(j,k\) 可以轉移s過來，且 \(j\) 比 \(k\) 優，那麼有：
\[f_j+(h_i-h_j)^2+C\leqslant f_k+(h_i-h_k)^2+C \]化一化式子有：
\[\frac{f_j+h_j^2-f_k-h_k^2}{h_j-h_k}\geqslant 2h_i \]直接單調佇列維護一下凸殼即可。