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Description

對於一個長度為 \(n\) 的序列，選出一個子序列，使得相鄰兩項的並之和最大。

\(n\le 10^6\)

Solution

考慮到我們可以設 \(f_i\) 表示前面 \(i\) 個以 \(a_i\) 的最大序列價值，那麼我們可以發現 \(f_i\) 是具有單調性的。

考慮對於 \(i\) 轉移存在點 \(j,k,s.t. j<k\)，如果二者最高位相同，那麼從 \(k\) 轉移一定不劣，因為可以 \(i\to k\to j\)，所以我們可以對於每個二進位制位記錄存在該位的 \(a_i\) 最靠後的 \(i\)。

複雜度 \(\Theta(n\log n)\)

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define int long long
#define MAXN 1000005

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}
template <typename T> inline void chkmax (T &a,T b){a = max (a,b);}
template <typename T> inline void chkmin (T &a,T b){a = min (a,b);}

int n,a[MAXN],f[MAXN],pos[41];

signed main(){
	read (n);
	for (Int i = 1;i <= n;++ i) read (a[i]);
	for (Int i = 1;i <= n;++ i){
		for (Int j = 0;j <= 40;++ j) if (pos[j]) chkmax (f[i],f[pos[j]] + (a[i] & a[pos[j]]));
		for (Int j = 0;j <= 40;++ j) if (a[i] >> j & 1) pos[j] = i;
	}
	write (f[n]),putchar ('\n');
	return 0;
}