題意

一個第 \(n\) 行有 \(n\) 個點的矩陣，其規律為每個點的值為每個點橫座標與縱座標的乘積，求第 \(A\) 行到第 \(B\) 行所有點的值的和（包括 \(A\)，\(B\) 兩行），結果 \(\mod1000000007\)。

暴力做法

列舉每個數並累加取模即可，顯然，複雜度 \(\Theta(n^2)\) 的暴力會 TLE，因為資料範圍是 \(10^6\)。

優化

仔細觀察這個矩陣，我們可以一行一行考慮，

對於第 \(n\) 行，每個點的座標分別為 \((1,n),(2,n),(3,n)\cdots(n-1,n),(n,n)\)，

這些點的值的和為 \(n + 2n + 3n + \cdots + (n-1)n + n^2\)

提取公因數後得 \(n(1 + 2 + 3 + \cdots + n-1 + n)\)，

因此問題就轉化為了求這個等差數列的和。

運用我們數學課的知識，對一個等差數列求和，其公式為 \(\frac{n(n+1)}{2}\)。

再回到暴力解法，原來的第二層迴圈就可以替換為等差數列求和，這時就只有一重迴圈了，時間複雜度 \(\Theta(n)\)。

程式碼

分析之後程式碼就很好寫了，注意取模，雖然答案再 int 範圍內，但是在計算過程中可能會超出 int 範圍，所以開 long long 會更保險。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int mod = 1000000007;
ll a, b, ans;
int main() {
	scanf("%lld%lld", &a, &b);
	for(ll i = a; i <= b; i++) {
		ans += (i * (i * (i + 1) / 2) % mod) % mod;
		ans %= mod;
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}