YbOJ-網格序列【拉格朗日插值】
阿新 • • 發佈:2022-02-15
正題
題目大意
有一個\(n\times m\)的網格,在上面填上\([1,k]\)的數字,定義兩個長度為\(n\)的序列\(a_i,b_i\)分別表示每一行/每一列的最大值。
求有多少種不同的合法\(a,b\)對。
\(1\leq n,m\leq 10^6,1\leq k\leq 10^9\)
解題思路
不難發現合法的\(a,b\)對只需要滿足它們的最大值相等。
那麼列舉最大值\(i\),答案就是
\[\sum_{i=1}^k(i^n-(i-1)^n)(i^m-(i-1)^m) \]看到這個式子果斷想到這是一個和\(k\)有關的\(n+m+1\)次多項式,又因為\(k\)很大而\(n,m\)很小直接上插值。
時間複雜度:\(O(n\log n)\)(視\(n,m\)同級)
code
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=3e6+10,P=998244353; ll n,m,k,pwn[N],pwm[N],f[N],inv[N],pre[N],suf[N],ans; ll power(ll x,ll b){ ll ans=1; while(b){ if(b&1)ans=ans*x%P; x=x*x%P;b>>=1; } return ans; } signed main() { freopen("grid.in","r",stdin); freopen("grid.out","w",stdout); scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k); ll L=n+m+10; for(ll i=1;i<=L;i++){ pwn[i]=power(i,n); pwm[i]=power(i,m); f[i]=(f[i-1]+(pwn[i]-pwn[i-1])*(pwm[i]-pwm[i-1])%P)%P; } inv[0]=inv[1]=1; for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P; for(ll i=1;i<N;i++)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P; pre[0]=k;suf[L]=k-L;suf[L+1]=1; for(ll i=1;i<=L;i++)pre[i]=pre[i-1]*(k-i)%P; for(ll i=L-1;i>=0;i--)suf[i]=suf[i+1]*(k-i)%P; for(ll i=0;i<=L;i++){ ll w=f[i]*(i?pre[i-1]:1)%P*suf[i+1]%P; w=w*inv[i]%P*inv[L-i]%P*(((L-i)&1)?-1:1); ans=(ans+w)%P; } printf("%lld\n",(ans+P)%P); return 0; }