題目

• 放棄測試 模板 0/1 分數規劃

• sightseeing cows 典 0/1 分數規劃 + SPFA判負環
  這題好像不能用 dinkelbach迭代法

• 沙漠之王 典 0/1 分數規劃 + Prim

  關於 dinkelbach 迭代法完虐二分法的這件事

  《進階指南》中關於 0/1分數規劃介紹的末尾, 挖了個 dinkelbach演算法 的坑
  我遂網上衝浪了一下, 找到了這篇 優秀的大佬的令人orz的部落格

  有多快

  在 放棄測試 中, dinkelbach 以五倍的速度完虐二分法
  在此題也同樣穩定地五倍吊打著
  

  核心思想

  (我講不好..具體看上面的那篇部落格)
  函式 \(f(x)=\sum A_ic_i-x\sum B_ic_i\)

  其實是個直線
  求出 \(x\) 對應的 \(f_{x_{max}}\) 後, 二分演算法僅僅判斷了\(f_{x_{max}}\) 與 \(0\) 的關係
  但其實將 \(f_{x_{max}}\) 利用起來, 找到 \(f_{x_{max}}\) 所在的那條直線, 然後將 \(x\) 移到這條直線的截距上去, 就可以實現極速定位

  程式碼

  double dinkelbach(){             
      double x=0, ans, p, q;
      while(true){
          ans=x, p=0, q=0;
          REP(i, 0, n) dis[i]=INF, vis[i]=false; dis[1]=0;
          
          REP(_, 1, n){                           // Prim O(N^2)
              int u=0;
              REP(v, 1, n) if(!vis[v] && dis[v] < dis[u]) u=v;
              vis[u] = true;
              if(u!=1) p += c[pre[u]][u], q += d[pre[u]][u];
  
              REP(v, 1, n) if(!vis[v] && dis[v] > c[u][v]-d[u][v]*x)
                  dis[v] = c[u][v]-d[u][v]*x, pre[v]=u;
          }
          x = p/q;                                // 直接移動到截距上
          if(fabs(ans-x)<eps) break;              // 沒有更優了, 退出
      }
      return ans;                                 // 即為最終答案
  }
   
  

  但似乎 dinkelbach 並不能完全取代二分, 可能在某些場景前者並不適用, 所以最好兩種方法都掌握.
  迭代法不適用的場景之一: 0/1分數規劃 + SPFA判負環